K-teoria

Fotografia de Michael Atiyah (esquerra) i Friedrich Hirzebruch (dreta)

La teoria K o K-teoria és una teoria inicialment desenrollada per a estudiar sistemàticament l'estudi de fas coherents en varietats algebraiques i els fibrados vectorials en varietats diferencials.

Definicions

Siga X un espai topològic compacte i Vect(X,C,n) el conjunt de classes d'isomorfisme de fibrados complexos de ranc n sobre X, este conjunt té l'estructura d'un monoide abeliano en la suma de Whitney de fibrados vectorials. Análogament, Vect(X,R,n) per a fibrados reals. Les sumes directes per a cada $n\ge 0$ donen lloc als monoides abelianos de classes d'isomorfisme de fibrados vectorials

$Vect(X,ℂ)={\oplus }_{n\ge 0}Vect(X,ℂ,n),Vect(X,ℝ)={\oplus }_{n\ge 0}Vect(X,ℝ,n).$

La teoria K complexa K(X) associada a X es definix com el grup de Grothendieck associat al primer monoide, mentres que la teoria K real KO(X) associada a X és la compleción del segon monoide. Els elements de la teoria K són fibrados virtuals.

La teoria K real es diu també ortogonal. L'orige de la denominació és la paraula klasse, referint-se al concepte de classe en alemà.

El producte tensorial de fibrados vectorials dota a K(X) i KO(X) de l'estructura d'anell conmutativo. Alternativament, Vect(X,C,n) és un semi-anelle respecte el producte tensorial i la compleción de Grothendieck dona lloc a este mateix anell. Si $f:X⟶Y$ és una aplicació contínua entre espais topològics, el pull-back de fibrados vectorials per f induïx morfismos d'anells

$f^{*}:K(Y)⟶K(X),f^{*}:KO(Y)⟶KO(X).$

Es pot comprovar que dos aplicacions $f\simeq g:X⟶Y$ homotópicas induïxen el mateix morfismo $f^{*}=g^{*}$. Estes propietats es poden sintetisar dient que les assignació

$X⟼K(X),X⟼KO(X)$

definixen functores contravariantes de la categoria d'espais topològiques en morfismos classes d'homotopía d'aplicacions a la categoria d'anells i morfismos d'anells.

Teoria K reduïda

La teoria-K complexa i real d'un punt X=pt. és isomorfa als sancers Z, l'isomorfisme donat pel ranc. Donat un punt $x\in X$ s'induïx un morfismo de K(X) a Z i es definix la K-teoria reduïda d'un espai X com

$\tilde{K}(X):=\ker \{K(X)⟶\mathbb{Z}\}$

Note's que la teoria-K reduïda de X és un ideal de la K-teoria de X i ya que no és isomorfo a l'anell total no conté l'identitat, el fibrado de llínea trivial. Ademés, es té

$K(X)\cong \tilde{K}(X)\times \mathbb{Z}$