Categoria de grups abelianos

En matemàtiques la categoria Ab. és la que té com a objectes als grups abelianos i els homomorfisme de grups com morfismos de la categoria.

Els monomorfismos en Ab són els homomorfismes inyectivos de grups abelianos, els epimorfismes són els homomorfismes suprayectivos i els isomorfismes són els homomorfismes biyectivos.

l'objecte zero de la categoria és el grup trivial {0} que consistix solament del element neutre.

Ab és una subcategoría plena de Grp (categoria de grups). Una gran diferència entre Ab i Grp és que la suma de dos homomorfismes f i g de grups abelianos és de nou un homomorfisme de grups:

(f+g)(x+i) = f(x+i) + g(x+i) = f(x) + f(i) + g(x) + g(i)

       = f(x) + g(x) + f(i) + g(i) = (f+g)(x) + (f+g)(i)

La tercera part de l'igualtat requerix que el grup siga abeliano. Esta adició de morfismos convertix a Ab en una categoria preaditiva i com la suma directa de grups abelianos és un coproducto llavors Ab és una categoria aditiva.

En Ab la noció categòrica de núcleu coincidix en la noció algebraica de núcleu i.i.: el núcleu categòric del morfismo f : A → B és el subgrup k de A definit per K = {x in A : f(x) = 0}, en l'inclusió i : K → A. De forma anàloga el conúcleo de f és el [[grup cocient]] C = B/f(A) junt en la proyecció natural p : B → C. (Dese conta de la gran diferència entre Ab i Grp: en Grp pot succeir que f(A) no és un subgrup normal de B i per lo tant el conjunt cocient B/f(A) no és un grup.) En esta completa descripció de núcleus i conúcleos és fàcil vore que Ab és en realitat una categoria abeliana.

El producte en Ab d'una família d'objectes està donat pel producte directe de grups format en prendre el producte cartesiano dels conjunts subjacents i dotar-ho d'una multiplicació component a component. Degut a que Ab té núcleus es pot provar que Ab és una categoria completa. El coproducto com ya es va mencionar en Ab està donat per la suma directa, com Ab té conúcleos tenim que Ab és també cocompleta..

També es té un funtor que oblida O:Ab → Set que assigna a cada grup abeliano el seu conjunt subjacent i a cada homomorfisme de grups la funció subjacent. Este funtor és ple i per lo tant Ab és una categoria concreta. El funtor que oblida té com adjunt esquerre al funtor F:Set → Ab que a cada conjunt X li assigna el grup abeliano lliure en base en el conjunt X pero el funtor O no té adjunt dret.

Un objecte en Ab és inyectivo si i solament si és divisible, és proyectivo si i solament si és un grup abeliano lliure. La categoria té un generador proyectivo (Z) i un cogenerador inyectivo (Q/Z). açò implica que Ab és una categoria de Grothendieck.

Daus dos grups abelianos A, B la seua producte tensorial A⊗B és de nou un grup abeliano en esta noció de producte Ab és una categoria monoidal.

Ab no és una categoria cartesianamente tancada i per lo tant no és un talps ya que carix d'objecte exponencial.