Categoria monoidal

Archiu:Monoidal category pentagon.svg

Categoria monoidal

En matemàtiques una categoria monoidal o categoria tensorial és una categoria C junt en un bifuntor

⊗ : C × C → C

Que és associatiu baix isomorfisme natural i un objecte I que actua com a objecte neutre o identitat per l'esquerra i la dreta per a ⊗ baix isomorfisme natural (els isomorfismes natural associats són cridats naturals perque junts satisfan certes condicions de coherència que nos diuen que tots els diagrames rellevants commuten). Categories monoidales són l'anàlec categòric de monoides en àlgebra abstracta.

El producte tensorial ordinari entre espais vectorials, grups abelianos, R-mòduls o anells conmutativos servixen per a donar estructura a les categories associades de categoria monoidal. Les categories monoidales poden ser vistes com una generalisació d'estos i molts atres eixemples.

En teoria de categories les categories monoidales poden ser usades per a definir el concepte d'objecte monoide i una acció associada en els objectes de la categoria. També són usades en la definició de categoria enriquida.

Categories monoidales tenen numeroses aplicacions fòra de la teoria de categories per eixemple s'utilisen per a definir models en la part multiplicativa de la llògica intuicionista llineal. També formen la fundació matemàtica per al orde topològic en matèria condensada. Categories monoidales trensadas tenen aplicacions en Teoria quàntica de camps i teoria de cordes.

Definició

Una categoria monoidal és una categoria $𝐂$ en lo següent:

• Un bifuntor $\otimes :𝐂\times 𝐂\to 𝐂$ cridat producte tensorial o producte monoidal
• Un objecte $I$ el objecte identitat o el objecte unitat
• Tres isomorfismes naturals subjectes a condiciones de coherència que essencialment expressen el fet de que l'operació tensor:
  • És associativa: Existix un isomorfisme natural α cridat asociador en components ${\alpha }_{A,B,C}:(A\otimes B)\otimes C\cong A\otimes (B\otimes C)$.
  • Té a $I$ com a identitat per l'esquerra i dreta: Existixen dos isomorfismes naturals $\lambda$ i $\rho$, respectivament cridats unifuntor esquerre i dret en components ${\lambda }_A:I\otimes A\cong A$ i ${\rho }_A:A\otimes I\cong A$.

Les condicions de coherència per a estos tres isomorfismes naturals són:

• Per a tot $A$, $B$, $C$ i $D$ in $𝐂$, el diagrama

Archiu:Monoidal-category-pentagon.png

commuta.

• Per a tot $A$ i $B$ en $𝐂$, el diagrama

Archiu:Monoidal-category-triangle.png

commuta.

D'estes tres condicions se seguix que qualsevol diagrama d'este tipo (i.i. un diagrama que els seus morfismos són formats usant $\alpha$, $\lambda$, $\rho$, identitats i producte tensorial) commuta; est és el teorema de coherència de Mac Lane.

Una categoria monoidal estricta és una categoria monoidal en el qual els isomorfismes naturals α, λ i ρ són identitats.

Eixemples

• Qualsevol categoria en productes finitos és monoidal en el producte com a producte tensorial i l'objecte final com l'objecte identitat. Tal categoria és usualment cridada categoria monoidal cartesiana
• Dualmente qualsevol categoria en coproductos finitos és monoidal en el coproducto com a producte tensorial i l'objecte inicial com l'objecte identitat.
• R-Mod la categoria de mòduls sobre un anell conmutativo R és una categoria monoidal usant el producte tensorial de mòduls ⊗_R com el producte monoidal. Com a casos particulars tenim:

• • K-Vect la categoria d'espais vectorials sobre un camp K en l'espai vectorial de dimensió u K usat com objecte identitat.
  • Ab la categoria de grups abelianos en el grup de sancers Z com l'objecte identitat.
• Per a qualsevol anell conmutativo R, la categoria de R-algebras és monoidal en el producte tensorial de àlgebra com el producte monoidal i R com objecte identitat.
• La categoria de tots els endofuntores d'una categoria C és una categoria monoidal estricta, en la composicíón de funtores com el producte i el funtor identitat com objecte identitat.

Vore també

• Algunes categories monoidales tenen estructures adicionals tals com trenes, simetria o pany. Les referències descriuen estos conceptes en detalle.

Funtores monoidales són els funtores que concernixen a les categories monoidales, açò és funtores que preserven el producte tensorial, transformacions naturals monoidales són les transformacions naturals entre estos funtores que són compatibles en el producte tensorial.

• Existix una noció general d'objecte monoide que generalisa la noció usual de monoide. En particular una categoria monoidal estricta pot ser vista com un objecte monoide en Cat (equipada en estructura monoidal induïda pel producte cartesiano).
• categories rígides són categories monoidales en les quals duals en propietats desijables existixen.
• categories autònomes són categories monoidales en les quals existixen inversos.

Referències

• Joyal, André; Street, Ross (1993). "Braided Tensor Categories". Advances in Mathematics 102, 20–78.
• Kelly, G. Max (1964). "On MacLane's Conditions for Coherence of Natural Associativities, Commutativities, etc." Journal of Algebra 1, 397–402
• Kelly (1982). Basic Concepts of Enriched Category Theory, Cambridge University Press.
• Mac Lane, Saunders (1963). "Natural Associativity and Commutativity". Rice University Studies 49, 28–46.
• Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). New York: Springer-Verlag.

.