Funtores adjunts

En matemàtiques, específicament en teoria de categories, la adjunción és una relació entre dos funtores que apareix freqüentment a través de les distintes branques de les matemàtiques i que captura una noció intuïtiva de solució a un problema d'optimisació. Dos funtores $F:𝒟\to 𝒞$ i $G:𝒞\to 𝒟$ es diuen adjunts entre sí, si existix una família de biyecciones

${\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{𝒞}(FY,X)\cong {\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{𝒟}(Y,GX)$

que és natural para qualssevol $X$ i $Y$. La relació de que $F$ siga adjunt a esquerra de $G$, o, equivalentement, que $G$ siga adjunt a dreta de $F$, es nota com $F⊣G$.

Motivació

L'ubiqüitat dels funtores adjunts

L'idea de funtor adjunt va ser formulada per Daniel Kan en 1958. Com ocorre en molts dels conceptes en teoria de categories, va ser sugerida per les necessitats del àlgebra homológica. Aquells matemàtics preocupats per donar presentacions ordenades o sistemàtiques del tema, varen observar relacions tals com

Hom (FB, C) = Hom (B, GC)

en la categoria dels grups abelianos, a on el funtor F era 'pren el producte tensorial en A', i G era el funtor Hom(A,.). Ací

Hom (X, I)

significa 'tots els homomorfismes de grups abelianos'. L'us del signe igual és un abús de notació; els dos grups no són realment idèntics pero hi ha una manera d'identificar-los que és natural. Pot ser vist com a natural sobre la base, en primer lloc, de que estes són dos descripcions alternatives de les funcions bilineales de BxA a C. Açò, no obstant, és alguna cosa peculiar del producte tensorial. Lo que la teoria de categories ensenya és que 'natural' és un terme tècnic ben definit en matemàtica: equivalència natural.

La terminologia ve del espai de Hilbert i l'idea del operador adjunt de T, O en <Tx, i > = <x, Uy>, que és formalment similar a l'anterior relació Hom. Diem que F és adjunt esquerre de G, i G és adjunt dret de F. ya que G pot ser per sí mateixa, un adjunt dret, absolutament diferent de F (vore avall per a un eixemple), l'analogia colapsa en eixe punt. Si un comença a buscar estos parells d'adjunts de funtores, resulten ser molt comuns en l'àlgebra abstracta i també en atres parts. La secció d'eixemples més avall proporciona les evidències; ademés, les construccions universals, que poden ser més familiars, donen lloc a numerosos parells de funtores adjunts.

D'acort en el pensament de Saunders MacLane, qualsevol idea, tal com funtores adjunts, que ocórrega en suficient extensió en matemàtica deu ser estudiada per sí mateixa.

Problemes profunts formulats en funtores adjunts

Alexander Grothendieck va utilisar la teoria de categories per a orientar-se en certs treballs fundacionals, axiomàtics del anàlisis funcional, l'àlgebra homológica i finalment en geometria algebraica.

El reconeiximent del paper de la adjunción era inherent a l'enfocament de Grothendieck. Per eixemple, un dels seus guanys importants va ser la formulació de la dualitat de Serre en forma relativa - es pot dir: en una família contínua de varietats algebraiques. Tota la demostració girava entorn a l'existència d'un adjunt dret per a cert funtor.

Els funtores adjunts com a solució a problemes d'optimisació

Una bona manera de motivar funtores adjunts és explicar qué problema solucionen, i cóm ho solucionen. Això solament pot fer-se, en cert sentit, gesticulando. Si pot ser dit, no obstant, que en els funtores adjunts es crea el concepte de la millor estructura, una del tipo que s'estiga interessat en construir. Per eixemple, una pregunta elemental en teoria d'anells és cóm agregar una identitat multiplicativa a un anell que no tinga tal cosa (la definició de Wikipedia assumix realment un: veja anell (matemàtica) i glossari de la teoria d'anells). La millor manera és agregar un element 1 a l'anell, i no agregar res suplementari que no es necessite (es necessitarà tindre r+1 per a cada r en l'anell, per supost), i que no agregue cap relació en el nou anell que no venja forçada pels axioma. Açò és alguna cosa vago, encara que sugestiu.

Hi ha vàries maneres de fer exacte este concepte de la millor estructura. Els funtores adjunts són un método; la noció de propietats universals proporciona uns atres, essencialment equivalent pero provablement en un enfocament més concret.

Les propietats universals també es basen en la teoria de categories. L'idea és presentar el problema en térmens d'una certa categoria auxiliar C; i llavors identificar lo que desigem fer com demostrar que C té objecte inicial. Açò té una ventaja que la optimisació - la sensació que estem trobant la millor solució - és seleccionat i reconeixible com el guany d'un suprem. Fer-ho és qüestió de destrea: per eixemple, prenga un anell donat R, i faça una categoria C els objectes de la qual siguen homomorfismes d'anell R → S, en S un anell que té una identitat multiplicativa. Els morfismos en C deu completar els triànguls que són diagrames conmutativos, i preservar identitat multiplicativa. L'asserció és que C té un objecte inicial R → R*, i R* és llavors l'anell buscat.

El método del funtor adjunt per a definir una identitat multiplicativa per als anells és mirar dos categories, C₀ i C₁, d'anells, respectivament sense i en l'assunció de l'identitat multiplicativa. Hi ha un funtor de C₁ a C₀ que s'oblida de l'1. Estem buscant un adjunt esquerre per a ell. Açò és una clara, encara que seca, formulació.

Una forma per a vore lo que és alcançat usant qualsevol formulació és intentar un método directe. (Alguns són més amics d'estos métodos, per eixemple John Conway.) S'agrega al R simplement un nou element, 1, i es calcula sobre la base de que qualsevol equació resultant és vàlida si i solament si val per a tots els anells que pugam crear de R i 1. Este és el método impredicativo: que significa que l'anell que estem intentant construir és un dels anells quantificats en tots els anells. Este us obert de la impredicatividad és honest, de forma distinta a com ocorre en teoria de categories.

La resposta sobre la manera de conseguir l'anell (unital) a partir d'un que no és unital és prou simple (vore els eixemples avall); esta secció ha segut una discussió de cóm formular la pregunta.

L'argument principal en favor dels funtores adjunts és provablement est: si un alvança en propietats universals o raonaments impredicativos, prou a sovint, semblen com una repetició dels mateixos passos.

El cas de l'orde parcial

Cada conjunt parcialment ordenat es pot vore com una categoria (en un sol morfismo entre x i i si i solament si x ≤ i). Un parell de funtores adjunts entre dos conjunts parcialment ordenats es diu una conexió de Galois (o, si és contravariante, una conexió de Galois antítona). Veja l'artícul per a un número d'eixemples: el cas de la teoria de Galois és per supost primordial. Qualsevol conexió de Galois dona lloc a operadors de clausura i a biyecciones inverses que preserven l'orde entre els elements tancats corresponents.

De la mateixa manera que el cas per als grups de Galois, a sovint el verdader interés residix en refinar una correspondència a una dualitat (és dir isomorfisme d'orde antítono). Un tractament de la teoria de Galois seguint estes llínees per Kaplansky va ser influent en el reconeiximent de l'estructura general.

L'orde parcial reduïx les definicions de la adjunción en forma absolutament perceptible, pero pot proporcionar varis temes:

• les adjunciones poden no ser dualidades o isomorfismes, pero són candidats a alcançar eixe estadi
• els operadors de clausura poden indicar la presència de adjunciones, com a corresponents mónadas (cf. axioma de clausura de Kuratowski)
• un comentari molt general de Martin Hyland és que la sintaxis i la semàntica són adjuntes: prenga C com el conjunt de totes les teories llògiques (axiomatizaciones), i D el conjunt de parts del conjunt de totes les estructures matemàtiques. Per a una teoria T en C, siga F(T) el conjunt de totes les estructures que satisfacen els axioma T; per a un conjunt d'estructures matemàtiques S, siga G(S) la axiomatisació mínima de S. Podem llavors dir que F(T) és un subconjunt de S si i solament si T implica llògicament G(S): el "funtor semàntic" F és adjunt esquerre a el "funtor de sintaxis" G.
• La divisió és (en general) la tentativa de invertir la multiplicació, pero molts eixemples, tals com l'introducció de l'implicació en llògica proposicional, o divisió per ideals de l'anell, es poden reconéixer com una tentativa de proporcionar un adjunt.

Estes observacions en el seu conjunt proporcionen valor explicatiu sobre el conjunt de totes les matemàtiques.

Definicions formals

Un parell de funtores adjunts entre dos categories C i D consistix en dos funtorés F: C → D i G: D → C i un isomorfisme natural que consistix en funcions biyectivas

φ_{X, I}: Mor_D(F(X), I) → Mor_C(X, G(I)) para tots els objectes X en C i I en D. Llavors diem que F és adjunt esquerre de G i que G és adjunt dret de F.

Cada parell de funtores adjunts definix una unitat η, una transformació natural del funtor Aneu_C a GF que consistixen en morfismos

η_X: X -> GF(X) per a cada X en C. η_X es definix com φ_{X, F(X)} (aneu_F(X)). Análogament, es pot definir una co-unitat ε, una transformació natural que consistix en morfismos

ε_I: FG(I) → I. per a cada I en D.

Eixemples

Objectes lliures. Si F: Set → Grp és el funtor que assigna a cada conjunt X el grup lliure sobre X, i si G: Grp → Set és el funtor d'oblit que assigna a cada grup el seu conjunt subjacent, llavors la propietat universal del grup lliure demostra que F és l'adjunt esquerre de G. L'unitat d'este parell adjunt és l'inclusió d'un conjunt X en el grup lliure sobre X.

anells lliures, grups abelianos lliures, i els mòduls lliures seguixen el mateix patró.

Productes. Siga F: Grp → Grp² siga el funtor que assigna a cada grup X el parell (X, X) en la categoria producte Group², i G: Group² → Grp el funtor que assigna a cada parell (I₁, I₂) el grup producte I₁xI₂. La propietat universal del grup producte demostra que G és adjunt dret de F. La co-unitat dona les proyeccions naturals del producte als factors.

El producte cartesiano de conjunts, el producte d'anells, el producte d'espais topològics etc. seguix el mateix patró; pot també ser ampliat d'una manera directa a més que solament dos factors.

Coproductos. Si F: Ab² → Ab assigna a cada parell (X₁, X₂) de grups abelianos el seu suma directa i si G: Ab → Ab² és el funtor que assigna a cada grup abeliano I el parell (I, I), llavors F és l'adjunt izquirdo de G, una atra volta conseqüència de la propietat universal de les sumes directes. L'unitat del parell adjunt proporciona les immersions naturals dels factors en la suma directa. Els eixemples anàlecs són donats per suma directa d'espais vectorials i mòduls, per producte lliure de grups i per l'unió disjunta de conjunts.

Núcleus. Considere la categoria D d'homomorfismes de grups abelianos. Si f₁: A₁ → B₁ i f₂: A₂ → B₂ són dos objectes de D, llavors un morfismo de f₁ a f₂ és un parell (g_A, g_B) de morfismos tals que g_Bf₁ = f₂g_A. Siga G: D → Ab el funtor que assigna a cada homomorfisme el seu núcleu i siga F: Ab → D el morfismo que mapea al grup A a l'homomorfisme A → 0. Llavors G és l'adjunt dret de F, lo que expressa la propietat universal dels núcleus, i la co-unitat d'esta adjunción dona l'encaix natural del núcleu d'un homomorfisme en el domini de l'homomorfisme.

Una variació convenient d'este eixemple també demostra que els funtores de núcleu per als espais vectorials i per als mòduls són adjunts drets. Análogament, un pot demostrar que els funtores de cokernel per als grups abelianos, els espais vectorials i els mòduls són adjunts esquerres.

Fent un anell unital. Este eixemple va ser discutit en la secció 1.3 dalt. Donat un anell no unitari R, un element multiplicativo identitat pot ser agregat prenent RxZ i definint un producte Z-bilineal per (r, 0)(0, 1) = (0,1)(r,0) = (r,0), (r, 0)(s, 0) = (rs, 0), (0,1)(0,1) = (0, 1). Açò construïx un adjunt esquerre al funtor que du un anell a l'anell no unital subjacent.

Extensions d'anell. Suponga que R i S són anells, i ρ : R → S és un homomorfisme d'anell. Llavors S es pot considerar com un R-mòdul (esquerre), i el producte tensorial en S dona un funtor F: R-Mod → S-Mod. Llavors F és adjunt esquerre del funtor d'oblit G: S-Mod → R-Mod.

Productes tensoriales. Si R és un anell i M és un R mòdul dret, llavors el producte tensorial en M dona un funtor F: R-Mod → Ab. el funtor G: Ab → R-Mod, definit per G(A) = Hom_Z(A, M) per a cada grup abeliano A, és un adjunt dret de F.

De monoides i grups a anells. La construcció del anell monoidedona un funtor dels monoides als anells. Este funtor és l'adjunt esquerre al funtor que associa a un anell donat el seu monoide multiplicativo subjacent. Semejantement, la construcció del anelle grup dona un funtor dels grups als anells, adjunt esquerre al funtor que assigna a un anell donat el seu grup d'unitats. Un pugues també començar en un cos K i considerar la categoria de les K-àlgebra en lloc de la categoria d'anells, i conseguir monoides i anells grup sobre K.

Imàgens directes i inverses de fas. Cada funció contínua f: X → I entre espais topològics induïx un funtor f_* de la categoria de fas (de conjunts, o de grups abelianos, o d'anells...) en X a la categoria corresponent de fas en I, el funtor image directa. També induïx un funtor f^* de la categoria de fas en I a la categoria de fas en X, el funtor image inversa. f^* és l'adjunt esquerre a f_*.

La construcció de Grothendieck. En K-teoria, el punt de partida és observar que la categoria dels fibrados vectorials en un espai topològic té una estructura conmutativa de monoide usant la suma directa. Per a fer d'este monoide un grup abeliano, un pot seguir el método d'estendre a un grup, agregant formalment l'invers de l'afegitó per a cada fibrado (o la classe d'equivalència). Alternativament un pot observar que el funtor que per a cada grup pren el monoide subjacent (que ignora l'invers) té un adjunt esquerre. Açò és una construcció d'una volta per a sempre, en llínea en el tercer argument de la secció anterior. És dir, un pot imitar la construcció dels números negatius; pero està l'atra opció d'un teorema d'existència. Per al cas d'estructures algebraiques finitas, l'existència per sí mateixa es pot referir a un àlgebra universal, o a la teoria de models; naturalment hi ha també una prova adaptada a la teoria de categories.

Reciprocitat de Frobenius en la teoria de representació de grups: veja representació induïda. Este eixemple va alvançar la teoria general per al voltant de mig sigle.

compactificación de Stone-Čech. Siga D la categoria dels compactes de Hausdorff i G: D → Top siga el funtor d'oblit que tracta cada espai compacte de Hausdorff com un espai topològic. Llavors G té un adjunt esquerre F: Top → D, la compactación de Stone-Čech. L'unitat d'este parell adjunt dona la funció contínua de cada espai topològic X en la seua compactación de Stone-Čech. Esta funció és una immersió (és dir inyectiva, contínua i oberta) si i solament si X és un espai de Tychonoff.

Soberification. L'artícul sobre la dualitat de Stone descriu una adjunción entre la categoria d'espais topològics i la categoria dels espais sobris que es coneix com soberification. Notablement, l'artícul també conté una descripció detallada d'una atra adjunción que prepara el camí per a la famosa dualitat d'espais sobris i de locals espacials, explotada en topología sense punts.

un funtor en un adjunt esquerre i un de dret. Siga G el funtor dels espais topològics als conjunts que associa a cada espai topològic el seu conjunt subjacent (açò és, que s'oblida de la topología). el G té un adjunt esquerre F, creant l'espai discret en un conjunt I, i un adjunt dret H creant la topología trivial en I (cf. estructura trivial).

Propietats

Relació en les construccions universals

Tots els parells de funtores adjunts sorgixen de construccions universals. Les construccions dels eixemples anteriors es poden tots explicar en una propietat universal, i de fet alguns dels artículs rellevants aixina ho fan. Les construccions universals són més generals que parells de funtores adjunts: segons lo mencionat anteriorment, una construcció universal és com un problema d'optimisació; dona lloc a un parell adjunt si i solament si este problema té una solució per a cada objecte de D.

Unicitat dels adjunts

Si el funtor F: C → D tenia dos adjunts drets G₁ i G₂, llavors G₁ i G₂ són naturalment isomorfos. Lo mateix és veritat per a adjunts esquerres.

Els adjunts preserven certs llímits

La propietat més important dels adjunts és la seua continuïtat: cada funtor que té un adjunt esquerre (i per lo tant és un adjunt dret) és continu (és dir commuta en llímits en el sentit teòric de la categoria); cada funtor que té un adjunt dret (i per lo tant és un adjunt esquerre) és cocontinuo (és dir commuta en colímites).

ya que moltes construccions comunes en matemàtica són llímits o colímites, açò proporciona abundant informació. Per eixemple:

• l'aplicació d'un funtor adjunt dret a un producte d'objectes dona el producte de les imàgens;
• l'aplicació d'un funtor adjunt esquerre a un coproducto d'objectes dae el coproducto de les imàgens;
• cada funtor adjunt dret és esquerre exacte; * cada funtor adjunt esquerre és dret exacte.

Aditividad

Si el funtor F: C → D és l'adjunt esquerre de G: D → C i C i D són categories aditivas, llavors F i G són funtorés aditius.

Composició

Si el funtor F₁: C → D té G₁: D → C com a adjunt dret i el funtor F₂: D → I té a G₂: I → D com a adjunt dret, llavors la composició F₂oF₁: C → I té G₁oG₂: I → C com a adjunt dret.

Caracterisació via l'unitat i la co-unitat

L'unitat η : 1_C → GF i la co-unitat ε: FG → 1_D tenen les propietats següents: la composició (εF)o(Fη), una transformació natural F→FGF→F, és igual a 1_F, i la composició (Gε)o(ηG): G→GFG→G és igual a 1_G. Inversament, donades dos transformacions naturals η 1_C → GF i ε: FG → 1_D en estes propietats, llavors els funtores F i G formen un parell adjunt.

Els parells d'adjunts estenen les equivalència

Cada parell adjunt amplia l'equivalència de certes subcategoría. Específicament, si F: C → D és l'adjunt esquerre de G: D → C en l'unitat η i la co-unitat ε, definixca C₁ com subcategoría completa de C consistent d'eixos objectes X de C per als quals η_X és un isomorfisme, i definixca D₁ com la subcategoría completa de D que consistix en eixos objectes I de D per al qual ε_I és un isomorfisme. Llavors F i G es poden restringir a C₁ i D₁ i donen equivalència inverses d'estes subcategoría. En un sentit, llavors, els adjunts són inversos "generalisats". Observe no obstant que l'invers dret de F (és dir un funtor G tals que el FG és naturalment isomorfo a 1_D) no necessita ser un adjunt dret (o esquerre) de F.

Adjunts generalisa inversos biláteros.

Teorema general d'existència

No tot funtor G: D → C admet un adjunt esquerre. Si D és complet, llavors els funtores en adjunts esquerres es poden caracterisar per la teorema de Freyd del Functor Adjunt: G té un adjunt esquerre si i solament si és continu i certa condició de pequeñez és satisfeta: per a cada objecte X de C existix una família de morfismos f_i: X → G(I_i) (a on els índexs i vénen d'un conjunt I, no una classe pròpia -- este és tot el punt), tals que cada morfismo h: X → G(I) es pot escriure com a h = G(t) o f_i per a algun i en I i algun morfismo t: I_i → I en D.

Una proposició anàloga caracterisa els funtores en un adjunt dret.