Subcategoría

En matemàtica, específicament en teoria de categories, una subcategoría d'una categoria $𝒞$ és una categoria $𝒮$ els objectes de la qual i morfismos existixen en $𝒞$ , i que hereta la composició i els morfismos identitat de $𝒞$ . Intuitivament, una subcategoría de $𝒞$ s'obté en remoure alguns dels objectes i morifsmos de $𝒞$ .

Definició

Siga $𝒞$ una categoria. Diem que $𝒮$ és una subcategoría de $𝒞$ si està donada per una subcolección d'objectes de $𝒞$ , $O b (𝒮)$ i una subcolección de morfismos de $𝒞$ , $M o r (𝒮)$ , tals que:

per a tot objecte $X \in O b (𝒮)$ , el seu morifsmo identitat està en $M o r (𝒮)$ ,
per a tot morfismo $f : X \to Y$ en $M o r (𝒮)$ , tant $X$ com $Y$ estan en $O b (𝒮)$ ,
per a qualsevol parella de morfismos $f, g \in M o r (𝒮)$ , el compost $g \circ f$ està en $M o r (𝒮)$ .

Estes condicions garantisen que $𝒮$ siga una categoria, i donen lloc a un funtor fidel $I : 𝒮 \to 𝒞$ , cridat el funtor inclusió, que pren els objectes i morfismos a sí mateixos dins de $𝒞$ .

Adicionalment, diem que una subcategoría $𝒮$ és completa, si para qualssevol objectes $X$ i $Y$ en $O b (𝒮)$ , tot morfismo $f : X \to Y$ en $M o r (𝒞)$ és també un morfismo en $M o r (𝒮)$ ; $𝒮$ és repleta si para tot objecte $X \in O b (𝒮)$ , i isomorfisme $f : X \to Y$ en $M o r (𝒞)$ , $f \in M o r (𝒮)$ i $Y \in O b (𝒮)$ ; i per últim, $𝒮$ és àmplia si tot objecte $C \in O b (𝒞)$ és també un objecte de $𝒮$ .

Eixemples

La categoria de conjunts finitos forma una subcategoría completa de la categoria de conjunts.
La categoria de grups Abelianos forma una subcategoría completa de la categoria de grups.
La categoria de matrius en entrades en els racionals diàdics forma una subcategoría àmplia de la categoria de matrius en entrades en els reals.

Este artícul conté una traducció derivada de «Subcategoría» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.