Cuasigrupo

Plantilla:De magma a grup 4 Cuasigrupo és l'estructura algebraica que, en clausura llineal, es configura com un magma dotat d'una sola llei de composició interna basada en la divisibilidad dels seus elements. Els cuasigrupos carixen de la propietat associativa distinguint-se per esta característica dels semigrupos i grups.

Bucle és el cuasigrupo que posseïx un divisor universal o element neutre.

Definició

Un cuasigrupo (Q, *) és un conjunt numèric Q dotat d'una operació binaria * que és interna, de tal manera que el resultat d'operar dos elements qualssevol entre sí donarà com resultat un atre element de Q:

$\begin{array}{cccc}*:& Q\times Q& ⟶& Q\\ & (a,b)& ⟼& c=a*b\end{array}$

en atres paraules, que Q està clausurat linealment o és un magma.

Siguen els següents números: x, i, a i b, elements del cuasigrupo Q, es verifica que existix una única manera d'expressar-los entre sí a través de l'operador *:

• $a*x=b$;
• $y*a=b$;

Prenent la taula de Cayley de (Q, *), dos números qualssevol pertanyents a Q, tira com a resultat en operar-los entre sí en el sentit estricte de que el primer operant es busca en la columna i l'operat, en la fila, el resultat es coneix en el lloc a on columna i fila es troben.

Les taules de Cayley dels cuasigrupos tenen les característiques dels quadrats llatins, a on cada casella està ocupada per un i solament un element de Q, apareixent una sola volta en cada columna i en cada fila sense repetir-se.

$\begin{array}{cccc}*& 1& 2& 3\\ 1& 1& 2& 3\\ 2& 2& 3& 1\\ 3& 3& 1& 2\end{array}$

L'operador * està basat en la divisibilidad de dos elements de Q. Esta divisibilidad pot establir-se de dos maneres, en funció de que es tracte del cuasigrupo (Q, ) o del (Q, /):

• Divisió lateral per l'esquerra: a x = b ; x = a * b, és el resultat de dividir per l'esquerra a x.
• Divisió lateral per la dreta: i / a = b ; i = b * a, és el resultat de dividir per la dreta a i.

Quan la divisió és bilátera, el resultat de la divisió per l'esquerra i per la dreta coincidixen, verificant-se que x = i necessàriament, en este cas, el cuasigrupo és (Q, |).

Àlgebra universal

En una estructura algebraica, l'identitat és una equació en la que totes les variables estan tácitamente quantificades universalment, i en el que totes les operacions es troben entre les operacions primitives pròpies de l'estructura. Les estructures algebraiques que tenen solament identitat (element neutre) es diuen varietats. Molts resultats estàndar de l'àlgebra universal ocupen només de les varietats. Els cuasigrupos són les varietats en que la divisió esquerra i dreta es prenen com a primitives.

Un cuasigrupo (Q, *, , /) és un tipo d'àlgebra (2,2,2) que satisfà les identitats següents:

• i = x * (x i);
• i = x (x * i);
• i = (i / x) * x;
• i = (i * x) / x.

Per tant, si (Q, *) és un cuasigrupo d'acort en la primera definició, llavors (Q, *, , /) és el mateix cuasigrupo en el sentit de l'àlgebra universal.

Segons Marshall Hall, Jr. un cuasigrupo és un sistema d'elements Q (a,b.c,...) en ell està definida una operació binaria de producte de modo que, en qualsevol ab=c qualssevol dos de a, b, c determina de manera única el tercer com a membre de Q.

Bucle

Un bucle és un cuasigrupo en un element neutre i de tal manera que:

• x*i = x = i*x.

D'això se seguix que l'element neutre i és únic, i que cada element de Q té un únic invers a esquerra i dreta. Hall, Jr. a bucle ho crida llaç.

La Teoria de Bucles no és una simple generalisació, sino una teoria en un orige i que a dia de hui encara seguix en moviment. El concepte de bucle sorgix pels anys quaranta en els treballs de R.H Bruck en la construcció d'anells no associatius. Esta teoria es va desenrollar anys arrere, com a eixemple tenim una descripció en l'Àlgebra de Zorn a on es parla del bucle dels elements invertibles.

Com a eixemple, nomenar l'àlgebra dels octoniones, el qual va anar el primer eixemple d'anell no associatiu i l'únic no associatiu normado en divisió.

Eixemples

• Tot grup és un bucle, perque a * x = b si i només si x = a⁻¹ * b, and i * a = b si i només si i = b * a⁻¹.
• Els sancers Z en resta (−) formen un cuasigrupo.
• Els racionals Q* sense el zero (o els reals R* sense el zero) en la divisió (÷) formen un cuasigrupo.
• Un espai vectorial sobre un cos de característica distinta de dos forma un cuasigrupo idempotent i conmutativo en l'operació x * i = (x + i) / 2.
• Tot triple sistema de steiner definix un cuasigrupo idempotent i conmutativo: a * b és el tercer element del tripe que conté a a i b
• El conjunt {±1, ±i, ±j, ±k} a on ii = jj = kk = +1 en tots els demés productes en el grup de cuaterniones forma un bucle associatiu d'orde 8. Vore cuaterniones hiperbòlics per a la seua aplicació. (Els cuaterniones hiperbòlics per sí mateixos no formen un bucle o cuasigrupo).
• Els octoniones sense el zero formen un bucle no associatiu baix la divisió. Els octoniones són un tipo especial de bucle cridat bucle de Moufang.
• En general el conjunt d'elements distints de zero d'un conjunt forma un cuasigrupo en la divisió.

Vore també

• Magma
• Semigrupo
• Monoide
• Grup
• Àlgebra abstracta

Bibliografia

• (1958) A survey of binary systems (en anglés).
• Pflugfelder; Chein, Orin (1990). Quasigroups and Loops: Theory and Applications (en anglés), Heldermann. ISBN 3-88538-008-0.
• Pflugfelder, Hala O (1990). Quasigroups and loops; introduction (en anglés), Heldermann. ISBN 3-88538-007-2.
• Smith (2007). An introduction to quasigroups and their representations (en anglés), Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-58488-537-8..
• (1999) Post-Modern Algebra (en anglés), Wiley. ISBN 1-58488-537-8.