Grup ortonormal generalisat

En matemàtiques, el grup ortogonal generalisat, $\text{O}(p,q)$ és el grup de Lie de totes les transformacions llineals d'un espai vectorial n-dimensional real que deixa invariante una forma bilineal simètrica i no-degenerada, de signatura $(p,q)$, a on n = p + q. També se li crida grup pseudo-ortogonal o grup ortogonal indefinit. La dimensió del grup és $n(n-1)/2$. El nom respon a que generalisa al grup ortogonal que és un cas particular.

El grup ortogonal especial generalisat o indefinit, $\text{SO}(p,q)$ és el subgrup de $\text{O}(p,q)$ format per tots els elements en determinant igual a l'unitat. A diferència del cas definit, $\text{SO}(p,q)$ no és conexo, tenint dos components. Ademés té subgrups d'índex finito adicionals, a saber, el ${\text{SO}}^{+}(p,q)$ i ${\text{O}}^{+}(p,q)$, que té 2 components – vore secció de Topología per a definicions i una discussió d'estos fets.

La signatura de la forma determina el grup, llevat isomorfismes, intercanviant el paper de $p$ i $q$, la qual cosa equival a reemplaça la mètrica per la seua forma negativa, comporta el mateix grup. Si un dels dos índexs $p$ o $q$ és zero, llavors el grup resultant és el grup ortogonal ordinari $\text{O}(p+q)$. Per a estudiar el cas eneral, assumim en lo que seguix que tant $p>0$ i $q>0$. El grup $\text{O}(p,q)$ es definix per a espais vectorials sobre els reals. Per a espais vectorials complexos, tots els grups $\text{O}(p,q,ℂ)$ són isomorfos a l'habitual grup ortogonal $\text{O}(p+q,ℂ)$, ya que la transformació $z_j\mapsto i{z}_j$ canvia la signatura de la forma. Açò no deu confondre's en el grup unitari indefinit $\text{U}(p,q)$ que conserva una forma sesquilineal de signatura $(p,q)$.

En dimensió per a $p=q=n/2$, el grup $\text{O}(p,q)$ es denomina el grup ortogonal escindit.

Referències

Bibliografia

• (2015).«Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction».Springer.222
• Anthony Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction, Second Edition, Progress in Mathematics, vol. 140, Birkhäuser, Boston, 2002. ISBN 0-8176-4259-5 – see page 372 for a description of the indefinite orthogonal group
• Plantilla:Springer
• Shirokov, D. S.. Lectures on Clifford algebras and spinors (en ru). doi:10.4213/book1373.
• Joseph A. Wolf, Spaces of constant curvature, (1967) page. 335.