Forma sesquilineal

En matemàtiques, una forma sesquilineal és una generalisació d'una forma bilineal que, a la seua volta, és una generalisació del concepte del producte escalar en un espai euclídeo. Una forma bilineal és llineal en cada u dels seus arguments, pero una forma sesquilineal permet "endoblegar" un dels arguments de manera semilineal, d'ahí el nom; que s'origina del llatí prefixe numeral sesqui- que significa "un i mig". El concepte bàsic del producte escalar (generar un escalar a partir d'un parell de vectores) es pot generalisar permetent una gama més àmplia de valors escalares i, en la possibilitat simultànea, d'ampliar la definició de vector.

Un cas arquetípico especial és una forma sesquilineal en un espai vectorial complex V. És una aplicació V × V → C que és llineal en un argument i "endoblega" la linealidad de l'atre argument per mig del conjugat complex (denominat argument antilineal). Este cas sorgix naturalment en les aplicacions de la física matemàtica. Un atre cas important permet que els escalares provinguen de qualsevol cos i el gir estiga generat per un automorfisme.

Una aplicació en geometria proyectiva requerix que els escalares provinguen d'un anell de divisió (cos biaixat), K, i açò significa que els "vectores" deuen ser reemplaçats per elements d'un K-mòdul. En un entorn molt general, les formes sesquilineales es poden definir sobre R-mòduls per a anells arbitraris en R.

Introducció informal

Les formes sesquilineales abstrauen i generalisen la noció bàsica d'una forma hermítica en un espai vectorial. Les formes hermíticas es veuen comunament en física, com el producte intern en un espai de Hilbert complex. En tals casos, la forma hermítica estàndar en Cⁿ ve donada per

$⟨w,z⟩=\sum _{i=1}^n{\bar{w}}_i{z}_i.$

a on ${\bar{w}}_i$ denota el conjugat de $w_i$. Este producte pot generalisar-se a situacions en les que no es treballa en una base ortonormal per a Cⁿ, o inclús en cap base. En insertar un factor adicional de $i$ en el producte, s'obté la forma biaixada-hermítica, que es definix en major precisió a continuació. No hi ha cap raó particular per a restringir la definició als número complejo, i de fet, es pot definir para anells arbitraris en un antiautomorfismo associat, entés informalment com un concepte generalisat de "conjugació complexa" per a l'anell.

Convenció

Les convencions diferixen sobre quin argument deu ser llineal. En el cas conmutativo, es pren el primer argument com a llineal, com és comú en la lliteratura matemàtica, llevat en la secció dedicada a les formes sesquilineales en espais vectorials complexos. Allí s'usa l'atra convenció i es pren el primer argument com a llineal conjugat (és dir, antilineal) i el segon com a llineal. Esta és la convenció utilisada principalment pels físics, que té el seu orige en la notació bra-ket de la mecànica quàntica, ideada per Paul Dirac. També és coherent en la definició del producte habitual (euclídeo) de $w,z\in {ℂ}^n$ com $w^{*}z$.

En l'entorn no conmutativo més general, en els mòduls a dretes es pren el segon argument com a llineal, i en els mòduls a esquerres es pren el primer argument com a llineal.

Vore també

• *-àlgebra

Bibliografia

• (1968) Finite geometries, Berlin, New York: Springer Science+Business Mija. ISBN 3-540-61786-8.

• (1977) Linear Geometry, 2nd edició, Springer. ISBN 0-387-90227-9.
• Jacobson, Nathan J. (2009). Basic Algebra I, 2nd edició, Dover. ISBN 978-0-486-47189-1.