Rotació d'eixos

Archiu:Rotation of coordinates.svg

Un sistema de coordenades cartesianas $xy$ rotado en un àngul $\theta$, origina un nou sistema de coordenades cartesianas $x^{\prime }{y}^{\prime }$

En matemàtiques, una rotació d'eixos en dos dimensions és una aplicació dels punts d'un sistema de coordenades cartesianas xy sobre els punts d'un segon sistema de coordenades cartesianas denominat x'i', en la que l'orige es manté fix i l'els eixos x' i i' s'obtenen girant els eixos x i i en sentit contrari a les agulles del rellonge a través d'un àngul $\theta$. Un punt P té coordenades (x, i) sobre el sistema original i coordenades (x', i') sobre el nou sistema. En el nou sistema de coordenades, el punt P semblarà haver segut girat en la direcció oposta, és dir, en el sentit de les agulles del rellonge a través de l'àngul $\theta$. Una rotació d'eixos en més de dos dimensions es definix de manera similar. Una rotació d'eixos és un aplicació llineal i una transformació rígida.

Condicions

Els sistemes de coordenades són essencials per a estudiar les equacions de curvas usant els métodos de la geometria analítica. Per a utilisar coordenades en geometria, és habitual que els eixos es coloquen en una posició convenient sobre la curva en qüestió. Per eixemple, per a estudiar les equacions d'elipses i hipérbolas, els focs usualment estan ubicats en un dels eixos i situats simétricamente sobre l'orige. Si la curva (hipérbola, paràbola, elipse, etc.) no està situada convenientment sobre els eixos, és convenient modificar el sistema de coordenades per a colocar la curva en una ubicació i orientació convenients i familiars. El procés de fer este canvi es diu transformació de coordenades.

Les solucions a molts problemes es poden simplificar girant els eixos de coordenades per a obtindre uns nous eixos en el mateix orige.

Demostració

Les equacions que definixen la transformació en dos dimensions, que fa girar els eixos xy en el sentit contrari a les agulles del rellonge a través d'un àngul $\theta$ en els eixos x'i', es deduïxen de la següent manera:

Donat el sistema xy, el punt P té les coordenades polars $(r,\alpha )$. Després, en el sistema x'i', P tindrà coordenades polars $(r,\alpha -\theta )$.

Llavors, es té que

Plantilla:NumBlk

Plantilla:NumBlk

i

Plantilla:NumBlk

Plantilla:NumBlk

Substituint les equacions (Plantilla:EquationNote) i (Plantilla:EquationNote) en les equacions (Plantilla:EquationNote) i (Plantilla:EquationNote), s'obté

Plantilla:NumBlk

Plantilla:NumBlk

Les equacions (Plantilla:EquationNote) i (Plantilla:EquationNote) es poden representar en forma de matriu com

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right),$

que és l'equació matricial estàndar d'una rotació d'eixos en dos dimensions.

La transformació inversa és

Plantilla:NumBlk

Plantilla:NumBlk

o

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right).$

Vore també

• Moviment de rotació
• Rotació (matemàtiques)

Bibliografia

• (1987).«Elementary Linear Algebra».Wiley.New York:

• (1973).«A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields».Houghton Mifflin Harcourt.Boston:
• (1993).«Numerical Analysis».Prindle, Weber and Schmidt.Boston:
• (1970).«College Calculus with Analytic Geometry».Addison-Wesley.Reading: