R4 exòtic

En matemàtiques, una estructura exòtica de ${ℝ}^4$ és una estructura de varietat diferenciable que és homeomorfa, pero no difeomorfa al espai euclídeo ${ℝ}^4.$ Els primers eixemples varen ser trobats en 1982 per Michael Freedman i uns atres, en utilisar el contrast entre les teoremes de Freedman sobre les 4-varietats topològiques, i les teoremes de Simon Donaldson sobre 4-varietats suaus. Existix un continu d'estructures diferencibles no difeomorfas a ${ℝ}^4,$ com va demostrar primer Clifford Taubes.

Abans d'esta construcció, ya se sabia que existien estructures diferenciables no difeomorfas sobre n-esferes, esferes exòtiques, encara que la qüestió de l'existència de tals estructures per al cas particular de la 4-esfera seguia sent un problema obert (i seguix siendolo en l'actualitat). Per a qualsevol número entero positiu n que no siga 4, no existixen estructures diferenciables exòtiques en ${ℝ}^n;$ en atres paraules, si n ≠ 4, llavors qualsevol varietat diferenciable homeomorfa a ${ℝ}^n$ és difeomorfa a ${ℝ}^n.$

R⁴ exòtics menuts

Un ${ℝ}^4$ exòtic es diu menut si es pot incrustar suaument com un subconjunt obert de l'estructura ordinària de ${ℝ}^4$. Els ${ℝ}^4$ exòtics menuts poden construir-se partint d'un h-cobordismo suau i no trivial de 5 dimensions (que existix per la prova de Donaldson de que la teorema de que l'h-cobordismo falla en esta dimensió) i utilisant la teorema de Freedman de que la teorema de l'h-cobordismo topològic es complix en esta dimensió.

R⁴ exòtics grans

Un $R^4$ exòtic es diu gran si no pot ser encaixat de manera suau com un subconjunt obert de el ${ℝ}^4$ estàndart. Es poden construir eixemples de ${ℝ}^4$ exòtics grans utilisant el fet de que els 4manifolds compactes a sovint poden dividir-se com una suma topològica (pel treball de Freedman), pero no poden dividir-se com una suma suau (pel treball de Donaldson).

(1986) jdg/1214440258 Un alisamiento universal de l'espai de quatre (vol. 24), pp. 69-78. va demostrar que existix un ${ℝ}^4,$ exòtic màxim en el que tots els demés ${ℝ}^4$ poden ser embebidos suaument com a subconjunts oberts.

Vore també

• Atles (matemàtiques)

Bibliografia

• (1990) Topology of 4-manifolds (vol. 39), Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-08577-3.
• (1986).«A universal smoothing of four-space».Journal of Differential Geometry.24(1)

69–78.ISSN 0022-040X.doi:10.4310/jdg/1214440258.

• Kirby, Robion C. (1989). The topology of 4-manifolds (vol. 1374), Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-51148-2.

• Scorpan, Alexandru (2005). The wild world of 4-manifolds, Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3749-8.
• (1962).«The piecewise-linear structure of Euclidean space».Proc. Cambridge Philos. Soc..58(3)

481–488.doi:10.1017/s0305004100036756. Plantilla:MathSciNet

• (1999) 4-manifolds and Kirby calculus (vol. 20), Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0994-6.
• (1987).«Gauge theory on asymptotically periodic 4-manifolds».Journal of Differential Geometry.25(3)

363–430.doi:10.4310/jdg/1214440981.