Quint postulat de Euclides

Quint postulat de Euclides

El postulat de les paraleles o quint postulat de Euclides és el postulat número cinc del llibre Els Elements (300 a. C.), elaborat pel matemàtic grec Euclides. La geometria euclidiana és l'estudi de la geometria que satisfà tots els axioma de Euclides, incloent entre estos el quint postulat, que és per la seua importància, la seua proposició distintiva. Una geometria en la que el quint postulat no se satisfà, rep el nom de geometria no euclidiana. La geometria que és independent del quint postulat (i. i., assumix els primers quatre) és coneguda com geometria absoluta.

Enunciat

Postule's... I que si una recta en incidir sobre dos rectes fa els ànguls interns del mateix costat menors que dos ànguls rectes, les dos rectes prolongades indefinidament es trobaran en el costat en el que estan els ànguls menors que dos rectes. Euclides

Formulació equivalents al V postulat

Quint postulat de Euclides: Les rectes, en prolongar-se, es intersecan.

1. La suma de [les mides de] els ànguls de qualsevol triàngul és igual a [la suma de les mides de] dos ànguls rectes.
   Elements, I, 32. (Proposició ya coneguda en temps d'Aristóteles, IV).
2. Les rectes paraleles són equidistants (atribuït a Posidonio, sigles I-II).
3. Per un punt exterior a una recta donada solament cal traçar una paralela. Esta formulació és la més coneguda i és deguda al matemàtic grec Proclo. Li la coneix també com a «postulat de les paraleles» (o axioma de Playfair).
4. Dos rectes paraleles guarden entre sí una distància finita.
5. Les rectes no equidistants convergixen en una direcció i divergixen en l'oposta (Thābit ibn Qurra, h. 826-901).
6. Tots els punts equidistants d'una llínea recta, situats a un costat determinat d'ella, constituïxen una llínea recta (Clavio, 1574).
7. Sobre una recta finita sempre es pot construir un triàngul semblant a un triàngul donat (Wallis, 1663).
8. Existix un parell de triànguls no congruents, pero semblants (Saccheri, 1733).
9. En tot quadrilàter que continga tres ànguls rectes, el quart àngul també és recte. (Clairaut, 1741).
10. Es pot construir un triàngul l'àrea del qual siga major que qualsevol àrea donada (Gauss, 1799).
11. Donats tres punts no alineats, sempre serà possible construir un círcul que passe per tots ells (Legendre, 1824).
12. No hi ha patró mètric absolut de llongitut (Gauss, 1816).

¿Axioma o teorema?

Euclides presenta l'enunciat com un axioma: el seu quint postulat.

1. Postule's el traçar una llínea recta des d'un punt qualsevol fins a un punt qualsevol.
2. I el prolongar contínuament una recta finita en llínea recta.
3. I el descriure un círcul en qualsevol centre i distància.
4. I el ser tots els ànguls rectes iguals entre sí.
5. I que si una recta en incidir sobre dos rectes fa que la suma dels ànguls interns del mateix costat menors que dos rectes, les dos rectes prolongades indefinidament es trobaran en el costat en el que estan els menors que dos rectes.

En llegir-ho tal i com ho va escriure Euclides i dins del seu context, s'observa que el V postulat és molt més complicat en la seua formulació que els atres quatre. Euclides mateixa no se servix d'ell en les seues primeres 28 proposicions, com si intuïra o esquivara la problemàtica de fondo. El problema és puix si realment el V postulat és independent dels atres quatre, o be pot deduir-se d'ells (junt en les nocions comunes i les definicions).

[...] l'afirmació de que com convergixen més i més a mida que es prolonguen, aplegaran alguna volta a trobar-se, és una afirmació verosímil pero no és necessària a falta d'un argument que prove que açò és veritat sobre les llínees rectes. Puix el fet de que hi haja algunes llínees que s'aproximen indefinidament pero permaneixen sense tocar-se, per més improvable i paradòxic que semble, també és cert i està completament comprovat en relació en llínees d'un atre tipo. ¿Per qué en el cas de les rectes no és possible lo mateix que ocorre en les llínees mentades?

Proclo, Comentaris als Elements.

Durant més de dos milenis, numerosos geómetras varen pensar que esta propietat deuria poder deduir-se llògicament de les atres quatre, i es varen donar a la tasca de tractar de demostrar l'axioma de Euclides.

Varen començar esta tasca geómetras àraps, i el primer en fer-ho va ser Omar Jayam, que va dibuixar un rectàngul (ara cridat "quadrilàter de Saccheri), i suponent que dos dels ànguls són rectes, sense el quint postulat no va poder demostrar que els atres dos anaren també rectes, tan sol va demostrar que són iguals. Posteriorment un atre geómetra àrap, Nasir al-Din al-Tusi va fer un atre intent sense conseguir-ho.

Sigles més tarde un italià, Girolamo Saccheri, va continuar en l'intent (pels anys posteriors a 1700). Esta volta va fer un intent diferent, canviant intencionalmente el quint postulat per un que ho contradia, va tractar de demostrar que s'aplega a un absurt.

Inicialment va tindre molt èxit aplegant a un absurt en partir que els atres dos ànguls de el "quadrilàter de Saccheri" eren obtusos. Pero en continuar en l'intent en supondre que eixos atres dos ànguls eren aguts, es va equivocar i erròneament va aplegar a un atre absurt. (La causa de l'error va ser provablement influencia de les seues creències religioses).

L'independència del V postulat i les geometria no euclidianas

Uns 22 sigles en acabant de que s'escrigueren els Elements per fi s'aplega a una conclusió: el V postulat és independent dels atres quatre. I s'aplega a esta resposta per mig d'un camí sorprenent. La prova de l'independència del V postulat dus implícita la possibilitat de que existixquen geometria en els que no es complix este postulat. Dit d'un atre modo: des del punt de vista llògic no hi ha contradicció cap en supondre que per un punt exterior a una recta puguen passar més d'una paralela a la recta, o inclús cap.

Sembla difícil comprendre esta afirmació, ya que en l'experiència comuna sabem que (llevat errors de dibuix), el V postulat és cert. Per a comprendre-ho devem fer un esforç d'abstracció per intentar oblidar el nostre significat intuïtiu de qué és una recta i acodir únicament a les definicions de Euclides.

De totes formes, ya que és més senzill per al nostre propòsit, considerarem la definició donada per Arquímedes en "Sobre l'esfera i el cilindre": la recta és la més curta de totes les llínees que tenen els mateixos extrems.

Ara be, llevat perque tenim una noció de recta i de pla que nos permeten comprovar que eixes nocions encaixen en les definicions donades, estes són massa difusas des del punt de vista llògic com per a considerar que no puguen ser vàlides atres interpretacions. Per eixemple, si considerem una superfície esfèrica i li donem la denominació de pla, encaixa perfectament en les definicions de pla. En este cas, una recta deuria ser (en virtut de lo dit, en especial de la propietat de ser la llínea més curta) el tros de circumferència màxima (és dir, una circumferència que passa per dos punts diametralment oposts de la superfície esfèrica) que passa per dos punts donats. En tal situació, per un punt exterior a una recta no passaria cap recta paralela a la donada.

L'aparició de les geometria no euclidianas

En el XIX es dona conclusió al problema de l'independència del V postulat. Ho fan de manera independent Bolyai i Lobachevsky, encara que Gauss ya havia resolt el problema en anterioritat (no havia publicat els seus resultats, i la paternitat del descobriment va ser per als atres dos geómetras). L'idea és molt simple: en les matemàtiques no està permés aplegar a una contradicció, és dir, obtindre un resultat que siga exactament la negació d'un atre resultat. No pot obtindre's que partint de les mateixes hipòtesis siga cert, al mateix temps, que (per eixemple) dos rectes es tallen i que eixes dos mateixes rectes no es tallen. S'aplegaria a la conclusió de que (de no haver comés errors de raonament, clar) alguna de les hipòtesis ha de ser necessàriament falsa.

L'idea que va donar solució al problema és la següent: si el V postulat depén dels atres quatre, ya no nos faria falta incloure-ho entre les nostres hipòtesis (postulats). Aixina que en el desenroll de la teoria, vesprada o enjorn, apareixerà en forma de teorema. Ara be, si eliminem dit postulat i li afegim la seua negació, de ser cert que el postulat V depén dels atres, aplegarem a demostrar-ho, i en això tindrem que tant una proposició (el V postulat) com la seua contrària (la negació del V postulat que ara ho substituïx) són certes. Haurem puix aplegat a una contradicció, alguna cosa que no és admissible. Alguna de les hipòtesis té que ser falsa, i esta ha de ser la nova que s'ha introduït, puix és l'única que choca contra la nostra intuïció (les demés sabem que són certes perque ya ho eren en la geometria de Euclides).

En contra de lo que poguera pensar-se, en este método no es va aplegar a contradicció alguna. És més, es va aplegar a demostrar que les geometria aixina obtingudes per Bolyai i Lobachevsky eren consistents (lo que vol dir que no contenien contradicció llògica cap). Ademés hi ha diferents formes de negar el V postulat (per un punt exterior a una recta no passa una única recta paralela a la mateixa) i aixina diferents geometria no euclidianas: per eixemple, si diem que no passa cap recta, s'obté la geometria esfèrica, que ya hem presentat, i si diem que passen infinites, s'obté la geometria hiperbòlica, la de Lobachevsky.

El V postulat i l'investigació geomètrica actual

En l'actualitat, la geometria utilisa métodos distints al sintètic (establir una série de axioma i deduir d'ells les propietats geomètriques de l'objecte a estudiar), que ha segut substituït per métodos de topología, anàlisis i àlgebra. Quan s'estudia un espai, ya no resulta "interessant" saber, si complix, o no, el V postulat de Euclides (encara que normalment és un resultat que s'obté fàcilment com a conseqüència de l'estudi d'atres propietats més interessants en l'actualitat, com és la de calcular el tensor curvatura de l'espai en qüestió —indirectament açò nos confirmarà, o no, si l'espai complix en el V postulat—). La qüestió sobre el V postulat va quedar relegada a un problema històric, que va contribuir enormement al desenroll de la geometria, pero que actualment sembla ya no seguir contribuint en eixe sentit, i és pres com un tema introductori en l'estudi de la geometria.

Vore també

• Elements de Euclides
• Història de la Geometria
• Geometria euclidiana
• Geometria no euclidiana
• Axioma de Hilbert

Bibliografia

• de Euclides.html EuclidsPostulates en MathWorld.