Vector equipolente

Archiu:Libra symbol (bold).svg

Símbol per a representar la equipolencia

En geometria euclídea, la equipolencia és una relació binaria entre segments rectilíneos dirigits. Un segment AB des del punt A al punt B té sentit opost al segment BA. Dos segments paralels són equipolentes quan tenen la mateixa llongitut i sentit. Expressat d'una atra manera, en general, per a que dos o més vectores siguen equipolentes basta que tinguen el mateix mòdul, direcció i sentit.

Propietat del paralelogramo

Archiu:Newton-1.jpg

Si els segments AB i CD són equipolentes, llavors AC i BD també ho són

Una propietat del espai euclídeo és la del paralelogramo de vectores: "Si dos segments són equipolentes, llavors formen dos costats d'un paralelogramo":

Si un vector donat enllaça a i b, i també c i d, llavors el vector que conecta a i c és el mateix que el que enllaça b i d.

Bertrand Russell
(The Principles of Mathematics, pàgina 432)

Història

El concepte de segments de llínea equipolentes va ser propost per Giusto Bellavitis en 1835. Posteriorment, es va adoptar el terme "vector" per a una classe de segments de llínea equipolentes. L'us que fa Bellavitis de l'idea de relació per a comparar objectes diferents pero similars s'ha convertit en una tècnica matemàtica comuna, particularment en l'us de relaciones d'equivalència. Bellavitis va utilisar una notació especial per a la equipolencia dels segments AB i CD:

$AB\bumpeq CD.$

Els següents passages, traduïts per Michael J. Crowe, mostren l'anticipació que Bellavitis tenia del concepte de vector:

Les equipolencias continuen sent vàlides quan se substituïxen les rectes que les contenen per atres rectes que són respectivament equipolentes respecte a elles, sense importar cóm estiguen situades en l'espai. D'açò es pot entendre cóm es pot "sumar" qualsevol número i qualsevol tipo de rectes, i que en qualsevol orde en que es prenguen estes rectes, s'obtindrà la mateixa suma equipolente...

En les equipolencias, de la mateixa manera que en les equacions, una recta es pot traslladar d'un costat a un atre, sempre que es canvie el signe...

Per lo tant, els segments en sentits oposts són negatius entre sí: $AB+BA\bumpeq 0.$

La equipolencia $AB\bumpeq n.CD,$ a on n representa un número positiu, indica que AB és paralel i té la mateixa direcció que CD, i que les seues llongituts tenen la relació expressada per AB = n.CD.

El segment de A a B és un vector lligat, mentres que la classe de segments equipolentes és un vector lliure, en el llenguage dels vectores euclídeos.

Bibliografia

• Giusto Bellavitis (1835) "Saggio vaig donar applicazioni vaig donar un nuovo metodo vaig donar Geometria Analitica (Calcolo delle equipollenze)", Annali delle Scienze del Regno Lombardo-Veneto, Padova 5: 244–59.
• Giusto Bellavitis (1854) Sposizione del Metodo della Equipollenze, enllaç de Google Llibres.

• Charles-Ange Laisant (1874): traducció francesa en adició de Bellavitis (1854) Exposition de la méthode dones equipollences, enllaç de Google Llibres.

• Giusto Bellavitis (1858) Calcolo dei Quaternioni vaig donar W.R. Hamilton i sua Relazione col Metodo delle Equipollenze, enllaç de HathiTrust.
• Charles-Ange Laisant (1887) Theorie et Applications dones Equipollence, Gauthier-Villars, enllaç de la Colecció de Matemàtiques Històriques d'Universitat de Míchigan.

• Lena L. Severance (1930) La teoria de les equipolencias; Método de Geometria Analítica de Sig. Bellavitis, enllaç de HathiTrust.
• Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lliçons de Física (4 volums) (en espanyol), Monytex.
• Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physics (en anglés), Nova York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32057-9.