Domini euclídeo

En matemàtiques, més concretament en àlgebra abstracta i teoria d'anells, un domini euclídeo o anell euclídeo (usualment abreviat DE) és un anell conmutativo sobre el que es pot definir una funció euclidea (explicada més alvance) que permet generalisar la noció de divisió euclidea usual dels número entero. Este algoritme de Euclides generalisat es pot utilisar per als mateixos fins que l'algoritme d'Euclides original en l'anelle dels sancers: en un domini euclídeo es pot utilisar este algoritme per a calcular el màxim comú divisor de dos elements qualssevol. En particular, el màxim comú divisor de dos elements sempre existix —la qual cosa no és en general cert per a un anell arbitrari—, i pot ser expressat com una combinació llineal d'ells (identitat de Bezout). Ademés, tot ideal d'un domini euclídeo és principal, lo que implica que es pot generalisar el teorema fonamental de l'aritmètica: tot domini euclídeo és un domini d'factorización única.

Definició

Un domini euclídeo és un parell $(A,\varphi )$ a on $A$ és un domini d'integritat i $\varphi$ és una aplicació $\varphi :A\setminus \{0\}⟶\mathbb{N}\cup \{0\}$ que complix les següents dos condicions:

1. Per a qualsevol $a,b\in A$ tals que $b\ne 0$ es complix que existixen $q,r\in A$ de manera que

(1)

$a=bq+r$; tals que $r=0$, o be $\varphi (r)<\varphi (b)$

2 Per a dos elements qualssevol $a,b\in A\setminus \{0\}$:

(2)

$\varphi (a)\le \varphi (a\cdot b)$

Als elements $q$ i $r$ se'ls denomina respectivament cocient i restant, com en la divisió usual.

Definicions alternatives

Alguns autors consideren que la (segona condició) és redundante i pot ser omesa de la definició. En efecte, si en un domini íntegre es pot definir una funció $\varphi$ que complix la primera condició, llavors sempre és possible definir una atra que complixca també la segona, en particular:

${\varphi }^{*}(x)=Min\{\varphi (ax):a\in A\setminus \{0\}\}$

ya que l'unicitat no és imprescindible, la condició (1) per sí sola implica que el domini és euclídeo.

Terminologia

Diversos autors es referixen a la funció $\varphi$ —que definix un domini euclídeo—, en diferents noms: «aplicació (o funció) euclídea», «funció de mida» (o de tamany), «grau» o «funció de norma». En alguns contexts es parla de «norma euclídea», si be esta denominació pot induir a confusió en la norma vectorial que definix la distància usual.

És important destacar que la funció de norma solament pren valors sancers, aun cuando en algun cas particular puga estendre's $\varphi$ a tot el conjunt dels número real.

Eixemples

Els següents són eixemples d'anells que són dominis euclídeos:

• Si prenem el conjunt dels número entero $\mathbb{Z}$ i com a norma euclídea prenem l'aplicació valor absolut $|\cdot |$, tenim un domini euclídeo, puix $|a|\le |ab|$ para tot $a,b\in \mathbb{Z}$ en $b\ne 0$. Usant esta definició, la propietat (1) equival al algoritme de divisió usual entre sancers.

• En tot cos $𝕂$ pot definir-se una norma euclídea, prenent-se esta com l'aplicació constant $1$, ya que, per a qualsevol element $a$ i $b$ de $𝕂$, se satisfan les dos propietats de forma trivial, a saber:

1. prenent $q=a/b$ es té que $r=0$.
2. $1=\varphi (a)\le \varphi (a\cdot b)=1$.

• Considerant l'anell de polinomis en una variable $𝕂[x]$ en coeficients en un cos $𝕂$ i com a norma euclídea l'aplicació

$\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}:𝕂[x]-\{0\}⟶\mathbb{N}\cup \{0\}$

que a cada polinomi no nul de $𝕂[x]$ li assigna el seu grau, el resultat és un domini euclídeo.

• en l'anell dels sancers gaussianos, si per a cada element $\alpha =a+bi$, a on $a,b\in \mathbb{Z}$, definim la seua norma com $N(\alpha )=a^2+b^2$, tenim un domini euclídeo.

Els següents són eixemples d'anells que no són dominis euclideos:

• En general, l'anell de polinomis en coeficients en un anell $A$ no és un domini euclídeo, inclús aun cuando el propi $A$ és un domini euclideo. Per eixemple $\mathbb{Z}[X]$ no és un domini euclídeo encara que $\mathbb{Z}$ sí ho és.

Vore també

• Domini íntegre.
• Algoritme de la divisió.
• Cos.
• Anell.
• Anell de polinomis.