Teorema de Dirichlet sobre progressions aritmètiques

La teorema de Dirichlet sobre progressions aritmètiques és un resultat de la teoria analítica de números demostrat pel matemàtic Dirichlet. Este teorema sobre la distribució dels número primo en $\mathbb{N}$, va ser conjeturado per Gauss i finalment demostrat en 1837 per Dirichlet, nom pel que actualment se li coneix.

Enunciat

Siga $a,d\in \mathbb{N}$ tal que el màxim comú divisor $\mathrm{mcd}(a,d)=1$, llavors la progressió aritmètica $a_n=a+n\cdot d$ conté infinits número primo. Dirichlet

Açò vol dir que els números a+nd formen una progressió aritmètica

$a,a+d,a+2d,a+3d,\dots ,$

en la que hi ha infinits número primo, o dit d'una atra manera, hi ha infinits número primo congruents en a mòdul d.

Per eixemple, la teorema assegura que hi ha una cantitat infinita d'número primo que terminen en 7, ya que els números que terminen en 7 formen una progressió aritmètica (7, 17, 27, 37, ...) és dir, és una successió de números de la forma a+nd en a=7 i d=10, sent estos cosins entre sí, després el seu màxim comú divisor és 1.

Enunciat estés a diferents bases

L'enunciat anterior esta formulat per a la base decimal o base 10 pero es pot estendre a diferents bases.

$\text{Sean}a,b\in \mathbb{N},b\text{una}\text{base}\text{numerica},mcd(a,b)=1$

Sempre que a siga $a\in 2,3,\mathrm{...},(b-1)$ és dir, a este comprés entre el menor número primo, 2, i el número menor immediat a la base, s'obtindran distintes classes de congruència en dita base.

És dir, aquells número coprimo en la base b verificaran que $a_n=a+n*b$. Solament és necessari comprovar en les primeres classes, ya que prenent l'eixemple de la base 10:

$mcd(7,10)=1$

i es pot afirmar que en la successió 17, 27, 37... hi haurà número primo, a l'igual en les successions de les classes de l'1,3 i 9, pero seria redundante aplicar-ho a la classe del 17 que està continguda a la seua volta en la del 7.

D'ací es pot deduir aplicant la funció $\varphi$ de Euler para la base b, que hi haurà d distintes classes d'equivalència.

En la base decimal hi ha $\varphi (10)=4$ classes d'equivalència distintes, que són 1,3,7 i 9. És dir, tots els números acabats en eixes sifres o que siguen pertanyents a la seua classe d'equivalència podran ser número primo.

Açò es deu a que la funció de Euler es pot utilisar per a calcular la cantitat d'número coprimo a un número donat, que en el cas del 10 són 4 número coprimo.

Per a ilustrar la teorema estesa a bases numèriques diferents es pot prendre l'eixemple de la base 10 o decimal.

Si es confecciona una taula que continga als número natural, s'observa que solament els valors acabats en 1, 3, 7 o 9 poden ser número primo (a excepció del 2 i del 5), puix tots els demés que acaben en sifra parell o 5 seran múltiples d'estos números.

Açò és fàcilment visualizable, ya que el 10 està compost per 2 i per 5; $10=2*5$

0 mod 10	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90
1 mod 10	1	11	21	31	41	51	61	71	81	91
2 mod 10	2	12	22	32	42	52	62	72	82	92
3 mod 10	3	13	23	33	43	53	63	73	83	93
4 mod 10	4	14	24	34	44	54	64	74	84	94
5 mod 10	5	15	25	35	45	55	65	75	85	95
6 mod 10	6	16	26	36	46	56	66	76	86	96
7 mod 10	7	17	27	37	47	57	67	77	87	97
8 mod 10	8	18	28	38	48	58	68	78	88	98
9 mod 10	9	19	29	39	49	59	69	79	89	99

En este cas es tenen 4 classes d'equivalència que es corresponen als residus 1, 3, 7, 9 congruents en mòdul 10:

$X\equiv 1(mod10)$

$X\equiv 3(mod10)$

$X\equiv 7(mod10)$

$X\equiv 9(mod10)$

Qualsevol X que verifique dita congruència podria ser un número primo, és dir, si un número no complix en lo anterior es pot afirmar que és impossible que siga un número primo.

Una conclusió que es pot extraure és que totes les classes tindran el mateix número aproximat de cosins, és dir, que donat un número primo aleatori les provabilitats de que pertanyga a una classe o a una atra són les mateixes. Per lo tant, si s'anaren afegint número primo successius s'observaria que es distribuïxen equitativamente entre les classes de l'1, 3, 7 i 9 per a la base 10, i açò es pot aplicar a qualsevol atra base distinta.

D'ací es pot concloure que les distribucions d'número primo solen tindre un aspecte uniforme, lo que és fàcilment observable en distintes representacions gràfiques en les que els número primo tendixen a formar grups, pero no és el resultat d'una propietat dels número primo, sino que a l'hora d'obtindre diferents classes d'equivalència els número primers s'agrupen en les classes que són coprimas en la base en la qual es representen.

Vore també

• Principi del colomer