Geometria complexa

Eixemple d'una varietat complexa: gràfic d'una de les funcions theta de Neville

En matemàtiques, la geometria complexa és l'estudi de les estructures i construccions geomètriques que sorgixen dels número complejo o estan descrites per ells. En particular, s'ocupa de l'estudi d'espais tals com varietats complexes i varietats algebraiques complexes, funcions de múltiples variables complexes i construccions holomorfas com fas de vectores holomorfos i paquets coherents. L'aplicació de métodos trascendentes a la geometria algebraica cau en esta categoria, junt en aspectes més geomètrics del anàlisis complex.

La geometria complexa es troba en l'intersecció de la geometria algebraica, la geometria diferencial i l'anàlisis complex, i utilisa ferramentes de les tres àrees. Per la combinació de tècniques i idees de diverses àrees, els problemes de geometria complexa solen ser més manejables o concrets que atres tipos de qüestions en general. Per eixemple, la classificació de varietats complexes i varietats algebraiques complexes a través d'un programa de model mínim i la construcció d'espai de mòduls distinguix el camp de la geometria diferencial, a on la classificació de possibles varietat diferenciables és un problema significativament més difícil. Ademés, l'estructura adicional de geometria complexa permet, especialment en la seua configuració compacta, que els resultats d'anàlisis global es proven en gran èxit, inclosa la prova de Shing-Tung Yau de la conjectura de Calabi, la correspondència de Hitchin-Kobayashi), la correspondència no abeliana de Hodge i resultats d'existència per a mètriques de Kähler-Einstein i per a la mètrica de Kähler de curvatura escalar constant. Estos resultats a sovint retroalimenten la geometria algebraica complexa i, per eixemple, recentment la classificació de varietats de Fano usant la K-estabilitat s'ha beneficiat enormement tant de les tècniques d'anàlisis com de la geometria birracional pura.

La geometria complexa té aplicacions importants en la física teòrica, a on és essencial per a comprendre la teoria conforme de camps; i la teoria de cordes i la seua simetria especular. A sovint és una font d'eixemples en atres àrees de les matemàtiques, inclús en la teoria de representació, a on les varietats de banderes generalisades pot estudiar-se utilisant geometria complexa que conduïx al teorema de Borel-Weil-Bott, o en topología simpléctica, a on les varietats de Kähler són simplécticas, en Geometria de Riemann a on les varietats complexes proporcionen eixemples d'estructures mètriques exòtiques com la varietat de Calabi-Yau i la hipervariedad de Kähler, i en teoria de calibres, a on els fas de vectores holomorfos a sovint permeten obtindre solucions per a equacions diferencials importants que sorgixen de la física, com les equacions de Yang-Mills. La geometria complexa també té un impacte en la geometria algebraica pura, a on els resultats analítics en entorns complexos, com la teoria de Hodge de varietats de Kähler inspiren la comprensió de l'estructura de Hodge para varietats i esquemes, aixina com la teoria p-ádica de Hodge, una teoria de la deformació per a varietats complexes inspira la comprensió de la teoria de deformació dels esquemes, i els resultats sobre la cohomología de varietats complexes varen inspirar la formulació de les conjectura de Weil i les conjectura estàndar d'Alexander Grothendieck. Per un atre costat, els resultats i tècniques de molts d'estos camps a sovint retroalimenten la geometria complexa i, per eixemple, els alvanços en les matemàtiques de la teoria de cordes i la simetria especular han revelat molt sobre la naturalea de les varietats de Calabi-Yau, que els teòrics de cordes prediuen que deuria tindre l'estructura de fibraciones lagrangianas a través de la conjectura SYZ, i el desenroll de la teoria de Gromov–Witten de varietats simplécticas ha dut a alvanços en geometria enumerativa de varietats complexes.

La conjectura de Hodge, un dels problemes del mileni, és una qüestió de geometria complexa.

Idea general

Un eixemple típic d'espai complex és l'esfera de Riemann. Pot vore's com una esfera, una varietat suau que sorgix de la geometria diferencial, o com una esfera de Riemann, una extensió del pla complex agregant un punt de l'infinit

En térmens generals, la geometria complexa es referix a espais i objectes geomètrics que, en cert sentit, estan modelats en el pla complex. Característiques del pla complex i del anàlisis complex d'una sola variable, com una noció intrínseca d'orientabilidad (és dir, poder rotar consistentemente 90 graus en sentit antihorario en cada punt del pla complex) i de la rigidea de les funcions holomorfas (és dir, l'existència d'una única derivada complexa implica una diferenciabilidad complexa en tots els órdens) es manifesten en totes les formes d'estudi de la geometria complexa. Com a eixemple, cada varietat complexa és canónicamente orientable, i una forma del teorema de Liouville s'aplica a varietats complexes compactes o a varietats algebraiques complexes proyectivas.

La geometria complexa té una concepció diferent a lo que podria cridar-se geometria real, l'estudi d'espais basat en les propietats geomètriques i analítiques de la recta real. Per eixemple, mentres que les varietats diferenciables admeten particions de l'unitat, coleccions de funcions suaus que poden ser idénticamente iguals a un en algun conjunt obert, i idénticamente zero en atres llocs, les varietats complexes no admeten tals coleccions de funcions holomorfas. De fet, esta és la manifestació del teorema d'identitat, un resultat típic en un anàlisis complex d'una sola variable. En cert sentit, la novetat de la geometria complexa pot remontar-se a esta observació fonamental.

És cert que tota varietat complexa és, en particular, una varietat realment suau. Açò es deu a que el pla complex $ℂ$ és, despuix d'oblidar la seua estructura complexa, isomorfo al pla real ${ℝ}^2$. No obstant, la geometria complexa no sol vore's com un subcampo particular de la geometria diferencial, l'estudi de varietats suaus. En particular, el teorema GAGA de Serre afirma que cada varietat analítica proyectiva és en realitat una varietat algebraica, i l'estudi de senyes holomórficos en una varietat analítica és equivalent a l'estudi de senyes algebraiques.

Esta equivalència indica que la geometria complexa està, en cert sentit, més prop de la geometria algebraica que de la geometria diferencial. Un atre eixemple d'esta propietat que es relaciona en la naturalea del pla complex és que, en l'anàlisis complex d'una sola variable, les singularitats d'una funció meromorfa són fàcilment describibles. En canvi, la possibilitat del comportament singular d'una funció contínua de valor real és molt més difícil de caracterisar. Com a resultat d'açò, es poden estudiar fàcilment espais singulars en geometria complexa, com les varietats analítiques complexes singulars o varietats algebraiques complexes singulars, mentres que en geometria diferencial a sovint s'evita l'estudi d'espais singulars.

En la pràctica, la geometria complexa es troba en l'intersecció de la geometria diferencial, la geometria algebraica i l'anàlisis en múltiples variables complexes, i s'utilisen ferramentes dels tres camps per a estudiar espais complexos. Les direccions típiques d'interés en geometria complexa involucren la classificació d'espais complexos, l'estudi d'objectes holomorfos adjunts a ells (com els fas de vectores holomorfos i els paquets coherents) i les relacions íntimes entre objectes geomètrics complexos i atres àrees de les matemàtiques i la física.

Definicions

La geometria complexa s'ocupa de l'estudi de varietats complexes, varietats algebraiques complexes i varietats analítiques complexes. En esta secció es definixen estos tipos d'espais i es presenten les relacions entre ells.

Una varietat complexa és un espai topològic $X$ tal que:

• $X$ és un espai de Hausdorff i complix el segon axioma de numerabilidad.
• $X$ és localment homeomorfo per a un subconjunt obert de ${ℂ}^n$ per a alguns $n$. És dir, per a cada punt $p\in X$, existix un entorn $U$ de $p$ i un homeomorfisme $\phi :U\to V$ a un subconjunt obert $V\subseteq {ℂ}^n$. Estos conjunts oberts es denominen cartes.

Si $(U_1,\phi )$ i $(U_2,\psi )$ són dos cartes superpostes que s'assignen a conjunts oberts $V_1,V_2$ de ${ℂ}^n$ respectivament, llavors la funció de transició $\psi \circ {\phi }^{-1}:\phi (U_1\cap U_2)\to \psi (U_1\cap U_2)$ és un biholomorfismo.

Deu tindre's en conte que ya que cada biholomorfismo és un difeomorfismo, i que ${ℂ}^n$ és un isomorfisme com espai vectorial sobre ${ℝ}^{2n}$, cada varietat complexa de dimensió $n$ és, en particular, una varietat suau de dimensió $2n$, que sempre és un número par.

A diferència de les varietats complexes que sempre són suaus, la geometria complexa també s'ocupa d'espais possiblement singulars. Una varietat analítica complexa afí és un subconjunt $X\subseteq {ℂ}^n$ tal que al voltant de cada punt $p\in X$, hi ha un veïnat obert $U$ de $p$ i una colecció d'un número finito de funcions holomorfas $f_1,\dots ,f_k:U\to ℂ$ tals que $X\cap U=\{z\in U\mid f_1(z)=\cdots =f_k(z)=0\}=Z(f_1,\dots ,f_k)$. Per convenció també es requerix que el conjunt $X$ siga irreducible. Un punt $p\in X$ és singular si la matriu jacobiana del vector de funcions holomorfas $(f_1,\dots ,f_k)$ no té ranc complet en $p$, i no singular en cas contrari. Una varietat analítica complexa proyectiva és un subconjunt $X\subseteq {ℂ\mathbb{P}}^n$ d'un espai proyectivo complex que està, de la mateixa manera, donat localment pels zeros d'una colecció finita de funcions holomorfas en subconjunts oberts de ${ℂ\mathbb{P}}^n$.

De manera similar, es pot definir una varietat algebraica complexa afí com un subconjunt $X\subseteq {ℂ}^n$ que es dona localment com el conjunt zero d'un número finito de polinomis en $n$ variables complexes. Per a definir una varietat algebraica complexa proyectiva, es requerix que el subconjunt $X\subseteq {ℂ\mathbb{P}}^n$ estiga donat localment pel conjunt zero d'un número finito de polinomis homogéneus.

Per a definir una varietat algebraica complexa general o analítica complexa, es requerix la noció d'espai localment anellat. Una varietat algebraica/analítica complexa és un espai localment anellat $(X,{𝒪}_X)$ que és localment isomorfo com un espai localment anellat a una varietat algebraica/analítica complexa afí. En el cas analític, normalment es permet que $X$ tinga una topología que és localment equivalent a la topología subespacial per l'identificació en subconjunts oberts de ${ℂ}^n$, mentres que en el cas algebraic $X$ sol estar equipat en un Topología de Zariski. Novament també es requerix per convenció que este espai anellat localment siga irreducible.

Ya que la definició d'un punt singular és local, la definició donada per a una varietat analítica/algebraica afí s'aplica als punts de qualsevol varietat analítica o algebraica complexa. El conjunt de punts d'una varietat $X$ que són singulars es denomina "lloc singular", denotat $X^{sing}$, i el complement és el lloc geomètric no singular o suau, denotat $X^{nonsing}$. Es diu que una varietat complexa és suau o no singular si la seua locus singular està buit. És dir, si és igual al seu lloc geomètric no singular.

Segons el teorema de la funció implícita per a funcions holomorfas, cada varietat complexa és en particular una varietat analítica complexa no singular, pero en general no és afí ni proyectiva. Segons la teorema GAGA de Serre, tota varietat analítica complexa proyectiva és en realitat una varietat algebraica complexa proyectiva. Quan una varietat complexa no és singular, és una varietat algebraica complexa. De manera més general, el lloc no singular de qualsevol varietat complexa és una varietat algebraica complexa.

Bibliografia

• (1994).«Principles of algebraic geometry».John Wiley & Sons.New York:
• S. Kobayashi, K. Nomizu. Foundations of Differential Geometry (Wiley Classics Library) Volume 1, 2.

• Eric Harold Neville (1922) Prolegomena to Analytical Geometry in Anisotropic Euclidean Space of Three Dimensions, Cambridge University Press.