Funcions theta de Neville

Gràfics de les funcions theta de Neville

En matemàtiques, les funcions theta de Neville, que duen el nom del matemàtic britànic Eric Harold Neville (1889-1961), es definixen de la següent manera:

${\theta }_c(z,m)=\frac{\sqrt{2\pi }q(m{)}^{1/4}}{m^{1/4}\sqrt{K(m)}}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(q(m){)}^{k(k+1)}\cos \left(\frac{(2k+1)\pi z}{2K(m)}\right)$

${\theta }_d(z,m)=\frac{\sqrt{2\pi }}{2\sqrt{K(m)}}(1+2\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(q(m){)}^{k^2}\cos \left(\frac{\pi zk}{K(m)}\right))$

${\theta }_n(z,m)=\frac{\sqrt{2\pi }}{2(1-m{)}^{1/4}\sqrt{K(m)}}(1+2\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k(q(m){)}^{k^2}\cos \left(\frac{\pi zk}{K(m)}\right))$

${\theta }_s(z,m)=\frac{\sqrt{2\pi }q(m{)}^{1/4}}{m^{1/4}(1-m{)}^{1/4}\sqrt{K(m)}}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k(q(m){)}^{k(k+1)}\sin \left(\frac{(2k+1)\pi z}{2K(m)}\right)$

a on: K(m) és l'integral elíptica complet del primer tipo, $K^{\prime }(m)=K(1-m)$, i $q(m)=e^{-\pi K^{\prime }(m)/K(m)}$ és el nomo elíptic.

Tinga's en conte que les funcions θ_p(z,m) a voltes es definixen en térmens del nomene q(m) i s'escriuen θ_p(z,q) (per eixemple, NIST). Les funcions també poden escriure's en térmens del paràmetro τ, en el valor θ_p(z|τ) a on $q=e^{i\pi \tau }$.

Relació en atres funcions

Les funcions theta de Neville poden expressar-se en térmens de les funcions theta de Jacobi

${\theta }_s(z|\tau )={\theta }_3^2(0|\tau ){\theta }_1(z^{\prime }|\tau )/\theta {\text{'}}_1(0|\tau )$

${\theta }_c(z|\tau )={\theta }_2(z^{\prime }|\tau )/{\theta }_2(0|\tau )$

${\theta }_n(z|\tau )={\theta }_4(z^{\prime }|\tau )/{\theta }_4(0|\tau )$

${\theta }_d(z|\tau )={\theta }_3(z^{\prime }|\tau )/{\theta }_3(0|\tau )$

a on $z^{\prime }=z/{\theta }_3^2(0|\tau )$.

També estan relacionades en les funcions elíptiques de Jacobi. Si pq(o,m) és una funció elíptica de Jacobi (p i q són un de s,c,n,d), llavors

$\mathrm{pq}(u,m)=\frac{{\theta }_p(u,m)}{{\theta }_q(u,m)}.$

Eixemples

• ${\theta }_c(2.5,0.3)\approx -0.65900466676738154967$
• ${\theta }_d(2.5,0.3)\approx 0.95182196661267561994$
• ${\theta }_n(2.5,0.3)\approx 1.0526693354651613637$
• ${\theta }_s(2.5,0.3)\approx 0.82086879524530400536$

Bibliografia

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. Handbook of Mathematical Functions with Formules, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Séries. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.