Conjectura de Hodge

Conjectura de Hodge

La conjectura d'Hodge és un important problema de geometria algebraica encara no resolt en el que es relacionen la topología algebraica d'una varietat algebraica complexa no singular i les subvariedades d'eixa varietat. En concret, la conjectura diu que certs grups de cohomología de De Rham són algebraics, açò és, són sumes de dualidades de Poincaré de classes homòlogues de subvariedades.

La conjectura de Hodge és un dels Problemes del mileni la resolució del qual seria premiada, segons va anunciar el Clay Mathematics Institute en l'any 2000, en la suma d'un milló de dólars.

Motivació

Siga X una varietat complexa conexa de dimensió complexa n. Després X, és una varietat diferenciable orientable de dimensió 2n, per lo que els seus grups de cohomología residixen en graus zero a través de 2n. Assumixca's que X és una varietat de Kähler, per lo que hi ha una descomposició en la seua cohomología en coeficients complexos:

$H^k(X,𝐂)=\underset{p+q=k}{⨁}{H}^{p,q}(X),$

a on $H^{p,q}(X)$ és el subgrup de grups de cohomología que estan representats per formes harmòniques de tipo (p, q). Açò és, estes són els grups de cohomología representats per formes diferencials que, en una determinada elecció de coordenades locals $z_1,\dots ,z_n$, pot ser escrites com a productes de funcions harmòniques $d{z}_{i_1}\wedge \cdots \wedge d{z}_{i_p}\wedge d{\overline{z}}_{j_1}\wedge \cdots \wedge d{\overline{z}}_{j_q}$. (Vore Teoria de Hodge para més detalls). Prendre productes exteriors d'estos representants harmònics es correspon en el cup product en cohomología, per lo que cup product és compatible en la descomposició de Hodge:

$\cup :H^{p,q}(X)\times H^{p^{\prime },q^{\prime }}(X)\to H^{p+p^{\prime },q+q^{\prime }}(X).$

Ya que X és una varietat complexa, X té una classe fonamental.

Siga Z una subvariedad complexa de X de dimensió k, i siga i : Z → X la funció d'inclusió. Elegixca's una forma diferenciada $\alpha$ del tipo (p, q). Podem integrar $\alpha$ sobre Z:

$\underset{Z}{\int }{i}^{*}\alpha .$

Per a evaluar esta integral, elegixca's un punt de Z i cride-se-li 0. Al voltant de 0, podem elegir coordenades locals $z_1,\dots ,z_n$ en X tal que Z siga $z_{k+1}=\cdots =z_n=0$. si p > k, llavors $\alpha$ deu contindre Conseqüentment, esta integral és zero si (p, q) ≠ (k, k).

De forma més abstracta, l'integral pot ser escrita com el cap product del grup de cohomología de Z i del grup de cohomología representat per $\alpha$. Segons la dualitat de Poincaré, el grup d'homologia de Z és doble del grup de cohomología que cridarem [Z], i el cap product pot ser calculat prenent el cup product de [Z] i $\alpha$ i capping en la classe fonamental de X. Ya que [Z] és un grup de cohomología, té descomposició de Hodge. Segons el càlcul anterior, si nosatres cup este grup en un atre tipo de grup (p, q) ≠ (k, k), llavors tindrem zero. Ya que $H^{2n}(X,𝐂)=H^{n,n}(X)$, es conclou que [Z] deu quedar en $H^{n-k,n-k}(X,𝐂)$. En poques paraules, la conjectura de Hodge diu:

¿Quins grups de cohomología en $H^{k,k}(X)$ deriven de subvariedades complexes Z?

Referències

• Hodge, W. V. D. "The topological invariants of algebraic varieties". Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Cambridge, MA, 1950, vol. 1, pp. 181–192.
• Grothendieck, A. "Hodge's general conjecture is false for trivial reasons". Topology 8 1969, pp. 299–303.

Vore també

• Williams Vallance Douglas Hodge