Cohomología de De Rham

En geometria diferencial, les formes diferencials en la varietat diferenciable que són derivades exteriors es diuen exactes; i les formes tals que les seues derivades exteriors són 0 es diuen tancades (vore formes diferencials tancades i exactes).

Les formes exactes són tancades, aixina que els espais vectorials de k-formes junt en la derivada exterior són un complex de cocadenas. Els espais vectorials de les formes tancades mòdul les formes exactes es diuen els grups de cohomología de De Rham. El producte exterior dota a la suma directa d'estos grups en una estructura d'anell.

La teorema de De Rham, provat per Georges de Rham en 1931, establix que per a una varietat diferenciable compacta orientable M, estos grups són isomorfos com a espais vectorials reals en els grups de cohomología singular H^p(M; R). Ademés, els dos anells de cohomología són isomorfos (com anell graduat). El teorema de Stokes generalisat és una expressió de la dualitat entre la cohomología de Rham i la homologia de cadenes complexes.

Formes harmòniques

Per a la varietat diferenciable M, podem equipar-la en alguna mètrica de Riemann auxiliar. Llavors el laplaciano Δ, definit per

dd + dd*

usant la derivada exterior i el dual de Hodge definix un operador diferencial llineal homogéneu (en graduació) que actua sobre l'àlgebra exterior formada per les formes diferencials: podem mirar la seua acció en cada component de grau p per separat.

Si M és compacte i orientat, la dimensió de la seua núcleu que actua sobre l'espai de p-formas és llavors igual (per la teoria de Hodge) a la del grup de cohomología de de Rham de grau p: el laplaciano selecciona una forma harmònica única en cada classe de cohomología de formes tancades, en particular l'espai de tot les formes p-harmòniques en M és isomorfo a H^p (M; R).

Referències

Frank Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Springer-Verlag, 1983