Formes diferencials tancades i exactes

En matemàtiques, en el càlcul vectorial i en la topología diferencial, els conceptes de forma tancada i forma exacta són definits per a les formes diferencials, per les equacions

per a que una forma donada α siga una forma tancada, i

per a una forma exacta, en $\alpha$ donada i $\beta$ desconeguda.

Com $d^2=0$, ser exacta és condició suficient per a ser tancada. En térmens abstractes, l'interés principal d'este parell de definicions és preguntar si esta és també una condició necessària és una manera de detectar l'informació topològica per condicions diferencials. No té cap sentit real preguntar si una 0-forma és exacta, ya que d aumenta el grau en 1.

Perspectiva general

Els casos de formes diferencials en ${ℝ}^2$ i ${ℝ}^3$ eren ya ben conegudes en la física matemàtica de el XIX. En el pla, 0-formes són simplement funcions, i les 2-formes són funcions per l'element d'àrea bàsica $dx\wedge dy$, de modo que són les 1-formes

les que són d'interés real. La fòrmula per a la derivada exterior d és

a on els subíndexs denoten derivades parcials per lo tant la condició per a que α siga tancada és

En este cas si $h(x,y)$ és una funció llavors

L'implicació de 'exacta' a 'tancada' és llavors una conseqüència de la simetria de les segones derivades, sobre x i a i.

Lema de Poincaré

El resultat topològic fonamental ací és el lema de Poincaré. Establix que per a un subconjunt obert contractible de X, qualsevol p-forma diferenciable definida en X que siga tancada, és també exacta, per a qualsevol número entero p > 0 (açò té contingut solament quan p és com a molt n).

Açò no és veritat per a un anell obert en el pla, per a algunes 1-formes que no s'estenen suaument al disc sancer; de modo que una certa condició topològica és necessària.

En térmens de la cohomología de De Rham, el lema diu que els conjunts contractibles tenen els grups de cohomología d'un punt (considerant que els 0-formes constants són tancades pero vacuamente no són exactes).

Vore també

• Diferencial total