Anar al contingut

Geometria aritmètica

De L'Enciclopèdia, la wikipedia en valencià
La curva hiperelíptica definida per y2=x(x+1)(x−3)(x+2)(x−2) té un número finito de punts racionals (com els punts (−2,0) i (−1,0)) pel teorema de Faltings.

En matemàtiques, la geometria aritmètica és l'aplicació de tècniques de la geometria algebraica a problemes en teoria de números.[1] La geometria aritmètica se centra en la geometria diofántica, l'estudi de punts racionals de varietats algebraiques.[2][3]

En térmens més abstractes, la geometria aritmètica es pot definir com l'estudi d'esquemes de tipo finito sobre l'espectre del anells dels sancers.[4]

Visió general

[editar | editar còdic]

Els objectes clàssics d'interés en geometria aritmètica són els punts racionals: conjunts de solucions d'un sistema d'equacions polinòmiques sobre cossos de números, cossos finitos, cossos p-ádicos o cossos de funcions, açò és, cossos que no són algebraicamente tancats excloent els número real. Els punts racionals poden caracterisar-se directament per funciones d'altura que medixen la seua complexitat aritmètica.[5]

L'estructura de les varietats algebraiques definides sobre cossos no algebraicamente tancats s'ha convertit en una gran àrea d'interés que va sorgir en el desenroll abstracte modern de la geometria algebraica. Sobre cossos finitos, la cohomología etal proveïx invariantes topològics associats a varietats algebraiques.[6] La teoria de Hodge p-ádica proporciona ferramentes per a estudiar quàn les propietats cohomológicas de les varietats sobre els número complejo s'estenen a les definides sobre els cossos p-ádicos.[7]

Història

[editar | editar còdic]

XIX: inici de la geometria aritmètica

[editar | editar còdic]

A principis de el XIX, Carl Friedrich Gauss va observar que existixen solucions sanceres distintes de zero d'equacions polinòmiques homogénees en coeficients racionals si existixen solucions racionals distintes de zero en general.[8]

En la década de 1850, Leopold Kronecker va formular el teorema de Kronecker-Weber, va introduir la teoria de divisores i va realisar moltes atres conexions entre la teoria de números i l'àlgebra. Conjeturó el seu «liebster Jugendtraum» (en alemà, «major somi de joventut»), una generalisació que va ser continuada més vesprada per Hilbert en modificacions en la seua duodècim problema, que perseguix l'objectiu de tractar en teoria de números únicament en anells que són cocient d'anells de polinomis sobre els sancers.[9]

Primera mitat de el XX: desenrolls algebraics i conjectura de Weil

[editar | editar còdic]

A finals de la década de 1920, André Weil va provar profundes conexions entre la geometria algebraica i la teoria de números en el seu treball doctoral, que va dur al teorema de Mordell-Weil, que demostra que el conjunt de punts racionals d'una varietat abeliana és un grup abeliano finitamente generat.[10]

Els fonaments moderns de la geometria algebraica es varen desenrollar basant-se en l'àlgebra conmutativa moderna, incloent la teoria de valuaciones i la teoria d'ideals d'Oscar Zariski entre uns atres en les décades de 1930 i 1940.[11]


En 1949, André Weil va postular les conjectura de Weil sobre les funcions zeta locals de varietats algebraiques sobre cossos finitos.[12] Estes conjectura oferien un marc entre la geometria algebraica i la teoria de números que va dur a Alexander Grothendieck a reescriure els fonaments utilisant teoria de fas (junt en Jean-Pierre Serre), i més tarde teoria d'esquemes, en les décades de 1950 i 1960.[13] Bernard Dwork va demostrar una de les quatre conjectura de Weil (racionalitat de la funció zeta local) en 1960.[14] Grothendieck va desenrollar la teoria de cohomología etal per a provar dos de les conjectura (junt a Michael Artin i Jean-Louis Verdier) en 1965.[6][15] L'última de les conjectura de Weil (un anàlec de la hipòtesis de Riemann) la demostraria finalment en 1974 Pierre Deligne.[16]

Segona mitat de el XX: desenrolls en modularidad, métodos p-ádicos i més allà.

[editar | editar còdic]

Entre 1956 i 1957, Yutaka Taniyama i Goro Shimura varen propondre la conjectura de Taniyama-Shimura (coneguda ara com a teorema de modularidad) que relacionava curves elíptiques en formes modular.[17][18] Esta conexió duria finalment a la primera demostració del última teorema de Fermat en teoria de números a través de tècniques de geometria algebraica d'alçament de modularidad desenrollades per Andrew Wiles en 1995.[19]


En la década de 1960, Goro Shimura va introduir les varietats de Shimura com a generalisacions de les curves modular.[20] Des de 1979, les varietats de Shimura han jugat un paper clau en el programa Langlands com a font natural d'eixemples per a provar conjectura.[21]

En artículs en 1977 i 1978, Barry Mazur va provar la conjectura de la torsió donant una llista completa de possibles subgrups de torsió de curves elíptiques sobre els número racional. La primera demostració de Mazur d'esta teorema depenia d'un anàlisis complet dels punts racionals en certes curves modular.[22][23] En 1996, Loïc Merel va estendre la demostració de la conjectura de la torsió a tots els cossos de números.[24]

En 1983, Gerd Faltings va demostrar la conjectura de Mordell, provant que una curva de gènero major que 1 té un número finito de punts racionals (a on la teorema de Mordell-Weil solament prova que són finitamente generats).[25][26]

En 2001, la demostració de les conjectura de Langlands locals para GLn es va basar en la geometria de certes varietats de Shimura.[27]


En la década de 2010, Peter Scholze va desenrollar els espais perfectoides i noves teories de cohomología en geometria algebraica sobre cossos p-ádicos en aplicació a representacions de Galois i a certs casos de la conjectura de Deligne en monodromía.[28][29]

Referències

[editar | editar còdic]
  1. ↑ Sutherland. «Introduction to Arithmetic Geometry». Consultat el 22 de març de 2019.
  2. ↑ Klarreich. «Peter Scholze and the Future of Arithmetic Geometry». Consultat el 22 de març de 2019.
  3. ↑ Poonen. «Introduction to Arithmetic Geometry». Consultat el 22 de març de 2019.
  4. ↑ «Arithmetic geometry in nLab». ncatlab.org. Consultat el 7 de juliol de 2019.
  5. ↑ Lang, Serge (1997). Survey of Diophantine Geometry, Springer-Verlag, pp. 43–67. ISBN 3-540-61223-8.
  6. ↑ 6,0 6,1 Grothendieck, Alexander (1960). «The cohomology theory of abstract algebraic varieties», Proc. Internat. Congress Math. (Edinburgh, 1958), Cambridge University Press, pp. 103–118.
  7. ↑ (1967).Annuaire du Collège de France.Paris:
    49–58.
  8. ↑ Mordell, Louis J. (1969). Diophantine Equations, Academic Press, p. 1. ISBN 978-0125062503.
  9. ↑ Gowers, Timothy; Barrow-Green, {{{nom2}}}; Leader, {{{nom3}}} (2008). The Princeton companion to mathematics, Princeton University Press, pp. 773–774. ISBN 978-0-691-11880-2.
  10. ↑ A. Weil, L'arithmétique sur els courbes algébriques, Acta Math 52, (1929) p. 281-315, reprinted in vol 1 of his collected papers ISBN 0-387-90330-5.
  11. ↑ Zariski, Oscar (2004). Abhyankar (ed.). Algebraic surfaces, second supplemented edició, Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-58658-6.
  12. ↑ (1949).Bulletin of the American Mathematical Society.55(5)
    497–508.ISSN 0002-9904.doi:10.1090/S0002-9904-1949-09219-4. Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by André Weil ISBN 0-387-90330-5
  13. ↑ (1955).The Annals of Mathematics.61(2)
    197–278.doi:10.2307/1969915.
  14. ↑ (1960).American Journal of Mathematics.American Journal of Mathematics, Vol. 82, No. 3.82(3)
    631–648.ISSN 0002-9327.doi:10.2307/2372974.
  15. ↑ Grothendieck, Alexander (1995). «Formule de Lefschetz et rationalité dones fonctions L», Séminaire Bourbaki, Paris: Société Mathématique de France, pp. 41–55.
  16. ↑ (1974).Publications Mathématiques de l'IHÉS.43(43)
    273–307.ISSN 1618-1913.doi:10.1007/BF02684373.
  17. ↑ (1956).Sugaku.7
  18. ↑ (1989).The Bulletin of the London Mathematical Society.21(2)
    186–196.ISSN 0024-6093.doi:10.1112/blms/21.2.186.
  19. ↑ (1995).Annals of Mathematics.141(3)
    443–551.doi:10.2307/2118559.Consultat el 7 de juliol de 2019.
  20. ↑ Shimura, Goro (2003). The Collected Works of Goro Shimura, Springer Nature. ISBN 978-0387954158.
  21. ↑ Langlands, Robert (1979). «Automorphic Representations, Shimura Varieties, and Motives. Ein Märchen», Borel (ed.). Automorphic Forms, Representations, and L-Functions: Symposium in Pure Mathematics, Chelsea Publishing Company, pp. 205–246.
  22. ↑ (1977).Publications Mathématiques de l'IHÉS.47(1)
    33–186.doi:10.1007/BF02684339.
  23. ↑ (1978).Inventiones Mathematicae.44(2)
    129–162.doi:10.1007/BF01390348.
  24. ↑ (1996).Inventiones Mathematicae.124(1)
    437–449.doi:10.1007/s002220050059.
  25. ↑ (1983).Inventiones Mathematicae.73(3)
    349–366.doi:10.1007/BF01388432.
  26. ↑ (1984).Inventiones Mathematicae.75(2)
    381.doi:10.1007/BF01388572.
  27. ↑ Harris; Taylor, {{{nom2}}} (2001). The geometry and cohomology of some simple Shimura varieties, Princeton University Press. ISBN 978-0-691-09090-0.
  28. ↑ «Fields Medals 2018». International Mathematical Union. Archivat des d'el original, el 5 d'agost de 2018. Consultat el 2 d'agost de 2018.
  29. ↑ Scholze. «Perfectoid spaces: A survey». University of Bonn. Consultat el 4 de novembre de 2018.


Referències

[editar | editar còdic]


Obtingut de «https://www.lenciclopedia.org/w/index.php?title=Geometria_aritmètica&oldid=803774»