Conjunt de solucions (matemàtiques)

En matemàtiques un conjunt de solucions és el conjunt de valors que satisfan una equació, una inecuación, un sistema d'equacions, o un de inecuaciones. És un subconjunt dels valors «permesos» a les incògnitas.

En térmens llògics, el conjunt solució és aquell els elements del qual fan que una proposició oberta siga verdadera. Com les equacions són proposicions que el seu valor de veres depén de les incògnitas que en ella apareixen, la definició de conjunt solució aplicada a estes pot ser considerada llavors com un cas particular.

El conjunt de solucions pot tindre un sol element, varis (inclús infinits, per eixemple en una identitat) o cap (el conjunt buit).

Definició

Donada una aplicació f : A → B, l'expressió f(x) = b determina una equació, en tant considerem a x com una indeterminada que pertany al conjunt A.

El conjunt solució o conjunt de solucions d'una equació és l'image inversa de b a través de f.

El conjunt solució està constituït per tots els a ∈ A determinats que satisfan l'equació, és dir, aquells per als quals es complix f(a) = b. Hi ha una sotil diferència conceptual entre les notacions

En la primera, x és un valor desconegut, del com se sap que està en A. La segona involucra, si existix, un element conegut a de A que pot «reemplaçar-se» en la primera igualtat i transformar-la en una identitat numèrica.

De modo anàlec pot definir-se el conjunt solució per a les inecuaciones.

Si $𝒮$ denota al conjunt de solucions de l'equació f(x) = b, la inecuación f(x) ≠ b té com a solució el conjunt $\overline{𝒮}=A\setminus 𝒮$, és dir, el complement de $𝒮$. Est conté tots els elements de A que no estan en $𝒮$.

Per a atres tipos de desigualtats, com les relacions < o >, es requerix que A i B siguen conjunts parcialment ordenats en una relació d'orde equivalent. Aixina, si $ℛ$ representa una relació d'este tipo, la solució de $f(x)ℛb$ està constituïda pels elements de A que complixen eixa relació.

Eixemples

• Per a |x+5|=7 té per conjunt de solucions $𝒮=\{-12,2\}$ (té 2 solucions).
• Per a $x\in ℝ$, $x^2=-1$ té per conjunt de solucions $𝒮=\varnothing$ (no té solucions).
• Per a $x\in ℂ$, $x^2=-1$ té per conjunt de solucions $𝒮=\{-i,i\}$ (té dos solucions).
• Per a $x\in ℝ$, $\sin (\pi x)=1$ té per conjunt de solucions $𝒮=\left\{2k+\frac{1}{2}:k\in \mathbb{Z}\right\}$ (infinites solucions).
• Per a $x\in ℝ$, $x^2\le 9$ té per conjunt de solucions $𝒮=[-3,3]$ (un interval).
• Per a $(x,y)\in {ℝ}^2$, l'equació en dos variables $\frac{1-3y}{x-2y}=\frac{2x}{2y-x}+1$ té com a conjunt de solucions $𝒮=\{(t,t+1):t\ne -2\wedge t\in ℝ\}$, que geomètricament pot representar-se com una recta en el pla euclídeo, en un «forat» en el punt $(-2,-1)$. Este problema apareix perque $2y-x=0$ és una expressió que conduïx a una divisió per zero en l'equació.
• Per a f una funció real que complix $f(1)=4$, l'equació diferencial ordinària $3f(x)-x{f}^{\prime }(x)=0$ té com a conjunt de solucions $𝒮=\left\{4x^3\right\}$.