Geometria diofántica
En matemàtiques, la geometria diofántica és l'estudi de les equacions diofánticas per mig dels métodos de la geometria algebraica, que han demostrat la seua gran potència en este comés. En el XX, alguns matemàtics varen tindre clar que els métodos de la geometria algebraica són ferramentes ideals per a estudiar estes equacions.[1] La geometria diofántica és part del camp més ampli de la geometria aritmètica.
En geometria diofántica, els quatre següents teoremas són de fonamental importància:[2]
Antecedents
[editar | editar còdic]Serge Lang va publicar el llibre Geometria diofántica en 1962, en el que va falcar el terme de "geometria diofántica".[1] La disposició tradicional del material sobre equacions diofánticas era per graus i pel número de variables, com en l'obra Equacions diofánticas de Mordell (1969). El llibre de Mordell comença en una observació sobre equacions homogénees f = 0 sobre els número racional, atribuïda a Carl Friedrich Gauss, de que existixen solucions distintes de zero en els número entero (inclús punts de retícul primitius) si existixen solucions racionals distintes de zero, i senyala una advertència de Leonard Eugene Dickson, que tracta sobre solucions paramètriques.[3] El resultat d'Hilbert-Hurwitz de 1890 que reduïx la geometria diofántica de curves de gènero 0 a graus 1 i 2 (curves còniques) apareix en el Capítul 17, de la mateixa manera que el teorema de Faltings. El teorema de Siegel apareix en el Capítul 28. El teorema de Mordell-Weil sobre la generació finita del grup de punts racionals en un curva elíptica està en el Capítul 16, i els punts sancers en la curva de Mordell en el Capítul 26.
En una resenya poc favorable sobre el llibre de Lang, Mordell va escriure:
Senyala que el contingut del llibre està format en gran mida per versions del teorema de Mordell-Weil, del teorema de Thue-Siegel-Roth, i de la teorema de Siegel; en un tractament del teorema de irreductibilidad de Hilbert i aplicacions (a l'estil de Siegel). Deixant de costat qüestiones de generalitat i un estil completament diferent, la principal diferència matemàtica entre els dos llibres és que Lang va usar varietats abelianas i va oferir una prova de la teorema de Siegel, mentres que Mordell va senyalar que la prova "és d'un caràcter molt alvançat" (p. 263).
A pesar de la mala prensa inicial, la concepció de Lang ha segut lo suficientment acceptada com per a que un homenage de 2006 califique el llibre de "visionari".[4] Un camp més gran a voltes cridat aritmètica de varietats abelianas ara inclou la geometria diofántica junt en la teoria de cossos de classes, la multiplicació complexa, les funcions zeta locals i les funcions L.[5] Paul Vojta va escriure:
- Mentres que uns atres en eixe moment compartien este punt de vista (com per eixemple Weil, Tate i Serre), és fàcil oblidar que uns atres no ho varen fer, com ho atesta la revisió de Mordell de la Geometria diofántica.[6]
Aproximacions
[editar | editar còdic]Una sola equació definix una hipersuperficie, i les equacions diofánticas simultànees donen lloc a una varietat algebraica general V sobre K; la pregunta típica és sobre la naturalea del conjunt V(K) de punts en V en coordenades en K, i per mig de les funciones d'altura, es poden plantejar preguntes quantitatives sobre el "tamany" d'estes solucions, aixina com les qüestions qualitatives de si existixen punts i, de ser aixina, si hi ha un número infinit. Donat l'enfocament geomètric, la consideració de les equacions homogénees i de les coordenades homogénees és fonamental, per les mateixes raons que la geometria proyectiva és l'enfocament dominant en geometria algebraica. Per lo tant, les solucions d'número racional són la consideració principal; pero les solucions sanceres (és dir, els punts del retícul) es poden tractar de la mateixa manera que una varietat afí es pot considerar dins d'una varietat proyectiva que té un punt de l'infinit adicional.
L'enfocament general de la geometria diofántica s'ilustra en el teorema de Faltings (una conjectura de Louis Mordell) que establix que una curva algebraica C de gènero g > 1 sobre els número racional solament té un número finito de punts racionals. El primer resultat d'este tipo pot haver segut la teorema de Hilbert i Hurwitz que tracta del case g = 0. La teoria consta tant de teoremes com de moltes conjectura i preguntes obertes.
Vore també
[editar | editar còdic]Referències
[editar | editar còdic]- ↑ 1,0 1,1 Hindry y Silverman, 2000, Preface.
- ↑ Hindry y Silverman, 2000, Preface.
- ↑ Mordell, 1969, p. 1.
- ↑ Marc Hindry. «La géométrie diophantienne, selon Serge Lang» (PDF). Gazette dones mathématiciens.
- ↑ Plantilla:Springer
- ↑ «The Mathematical Contributions of Serge Lang» (PDF). Ams.org.
Bibliografia
[editar | editar còdic]- (2007) Logarithmic Forms and Diophantine Geometry (vol. 9), Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88268-2.
- (2006) Heights in Diophantine Geometry (vol. 4), Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-71229-3.
- (2000) Diophantine Geometry: An Introduction (vol. 201). ISBN 0-387-98981-1.
- Lang, Serge (1997). Survey of Diophantine Geometry, Springer Science+Business Mija. ISBN 3-540-61223-8.
- Mordell, Louis J. (1969). Diophantine Equations, Academic Press. ISBN 978-0125062503.
Referències
[editar | editar còdic]
- Este artícul conté una traducció derivada de «Geometría diofántica» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.