Curva de Mordell

i² = x³ + 1, en solucions de coordenades sanceres en (-1, 0), (0, 1) i (0, -1)

En àlgebra, una curva de Mordell és una curva elíptica de la forma i² = x³ + n; a on n és una variable entera fixa no nula.

Estes curves varen ser estudiades en detalle per Louis Mordell, des del punt de vista de la determinació dels seus punts en coordenades sanceres. Va demostrar que cada curva de Mordell conté solament un número finito de punts de coordenades sanceres (x, i). En atres paraules, les diferències de quadrats perfectes i gavetes tendixen a ∞. La qüestió d'en quina rapidea es va tractar en principi pel método de Baker. Este assunt és tractat hipotèticament per la conjectura de Marshall Hall.

Propietats

Si (x, i) és un punt de coordenades sanceres en una curva de Mordell, llavors també ho és (x -i).

Hi ha certs valors de n per als que la curva de Mordell corresponent no té solucions sanceres. Estos valors són:

6, 7, 11, 13, 14, 20, 21, 23, 29, 32, 34, 39, 42, ... Plantilla:OEIS.

-3, -5, -6, -9, -10, -12, -14, -16, -17, -21, -22, ... Plantilla:OEIS.

En 1998, J. Gebel, A. Pethö i H. G. Zimmer varen trobar totes les solucions sanceres per a 0 < |n| ≤ 10 ⁴. (Senyes sobre les curves de Mordell per a -10000 ≤ n ≤ 10000, A081119, A081120)

Eixemple

Fermat va demostrar que les úniques solucions sanceres de $m^2+2=n^3$ són $n=3,m=\pm 5$.