Arna (fractal)
L'arna és un triàngul equilátero fractal els costats del qual estan substituïts per la curva de lepidopter, una variant de la curva de Koch. Té propietats similars a les del siamés, un rombo fractal basat en la curva de Koch, i per lo tant pot dividir-se en infinites còpies de sí mateixa. Esta figura va ser descoberta per Giorgio Pietrocola en març de 2024 i publicada en vàries revistes matemàtiques italianes. [1][2]
Algoritme
[editar | editar còdic]L'algoritme per a crear la curva dels lepidòpters és similar al de la curva de Koch. Per a resaltar-ho, s'utilisa un algoritme que convergix més llentament que el que s'utilisa normalment per a la curva de Koch. Per a abdós curves , es partix d'un segment i se substituïx per dos segments angulados que, junts, formarien un triàngul isósceles en ànguls de 30, 120 i 30 graus. Es continua realisant la mateixa transformació als segments que creixen aixina, en cada nivell, com les potències de dos. Per a la curva de Koch, en cada nivell es canvia en tots els segments la part de la substitució, una volta a la dreta i la següent a l'esquerra. Per a la curva dels lepidòpters, en canvi, en cada nivell s'alterna la construcció a la dreta i a l'esquerra. No obstant, en canviar de nivell, es canvia cada volta l'inici. Si l'anterior començava en una construcció a la dreta, s'inicia l'alternança en una construcció a l'esquerra. Seguix en la figura les dos transformacions diferents. En les dos últimes caselles de cada fila, la curva obtinguda es repetix per les dos parts de les dos formes possibles, obtenint en el primer cas una columna de siameses i en el segon una columna d'arnes.
Programa FMSLogo
[editar | editar còdic]to falena :clapixc :liv rt 180 make "nstop int (0.5+(power 2 :liv-1)*4/3)+2 make "mem pos make "hh heading ht pu fd :clapixc/2 bk :clapixc/2 pd make "conta 0 make "mem pos make "hh heading falenarico :clapixc*3 :liv 1 1 pu setpos :mem seth :hh pd make "conta 0 make "mem pos make "hh heading falenarico :clapixc*3 :liv 1 -1 pu setpos :mem seth :hh pd st rt 180 end
to falenarico :x :l :s :t localmake "x :x/sqrt 3 if :l=0 [make "conta :conta+1 if :conta>=:nstop [ stop] forward :x stop ] lt 30*:s*:t falenarico :x :l-1 -1 -:t rt 60*:s*:t falenarico :x :l-1 1 -:t lt 30*:s*:t end
El procediment «falenarico» s'utilisa en el procediment «falena». Despuix de copiar-los i guardar-los en l'editor de FMSLogo, pot introduir «falena 200 10» en la llínea de comandos per a obtindre una arna del tamany i nivell de iteración especificats. En l'artícul en llínea es troben disponibles procediments adicionals, com «falenarep», per a obtindre una arna replicante com la que es mostra en la figura.[2]
Comparació entre arna i siamés
[editar | editar còdic]
Mentres que el siamés i el anti-siamés s'obtenen substituint els costats d'un rombo per curves de Koch, l'arna s'obté substituint els costats d'un triàngul equilátero per curves lepidópteras orientades cap a l'exterior. Si estan orientades cap a l'interior, es crea una anti-arna (vore la figura). Els perímetros d'estos polígons fractales són tots infinits.
Mentres que l'àrea del siamés aumenta en un 40 % sobre el seu rombo de referència, l'arna aumenta en un 75 % sobre el seu triàngul. Les antifiguras disminuïxen en la mateixa proporció. [1]. Tant el siamés com l'arna, junt en les seues antítesis, es descomponen en infinites còpies similars.
Referències
[editar | editar còdic]- Este artícul conté una traducció derivada de «Polilla (fractal)» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.