Complement de Schur

En àlgebra llineal i teoria de matrius, el complement de Schur d'un bloc de matriu (és dir, d'una submatriz dins d'una matriu més gran) es definix de la manera següent:

Suponga's que A, B, C i D són respectivament matrius d'orde p&claves;p, p&claves;q, q&claves;p i q&claves;q, i que D és invertible. Siga

$M=\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]$

de modo que M és una matriu d'orde (p+q)&claves;(p+q).

Llavors, es definix el complement de Schur del bloc D de la matriu M com la matriu d'orde p&claves;p

$M/D:=A-B{D}^{-1}C$

i el complement de Schur del bloc A de la matriu M es definix com la matriu d'orde q&claves;q

$M/A:=D-C{A}^{-1}B.$

En el cas de que A o D siguen matrius singulars, les inverses M/A i M/D poden ser reemplaçades per un invers generalisat, produint lo que es diu un complement de Schur generalisat.

El complement de Schur du el nom d'Issai Schur, que ho va utilisar per a provar el Lema de Schur, encara que ya s'havia utilisat anteriorment. Emilie Haynsworth va ser la primera en cridar-ho "complement de Schur". El complement de Schur és una ferramenta clau en els camps d'anàlisis numèric, estadística i anàlisis de matrius.

Antecedents

El complement de Schur sorgix com a resultat de realisar un bloc d'eliminació Gaussiana en multiplicar la matriu M des de la dreta per la matriu "triangular inferior"

$L=\left[\begin{array}{cc}{I}_p& 0\\ -D^{-1}C& I_q\end{array}\right].$

Ací I_p denota una matriu identitat d'orde p&claves;p. Despuix de la multiplicació per la matriu L apareix el complement de Schur en el bloc superior d'orde p&claves;p. La matriu del producte és

$\begin{array}{cc}ML& =\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{I}_p& 0\\ -D^{-1}C& I_q\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A-B{D}^{-1}C& B\\ 0& D\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}{I}_p& B{D}^{-1}\\ 0& I_q\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}A-B{D}^{-1}C& 0\\ 0& D\end{array}\right].\end{array}$

Açò és anàlec a una factorización LU. És dir, s'ha demostrat que

$\begin{array}{cc}\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cc}{I}_p& B{D}^{-1}\\ 0& I_q\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}A-B{D}^{-1}C& 0\\ 0& D\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{I}_p& 0\\ D^{-1}C& I_q\end{array}\right],\end{array}$

i l'invers de M es pot expressar com a D⁻¹ i l'invers del complement de Schur (si existix) solament com

$\begin{array}{cc}& {\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{I}_p& 0\\ -D^{-1}C& I_q\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}(A-B{D}^{-1}C{)}^{-1}& 0\\ 0& D^{-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{I}_p& -B{D}^{-1}\\ 0& I_q\end{array}\right]\\ =& \left[\begin{array}{cc}{(A-B{D}^{-1}C)}^{-1}& -{(A-B{D}^{-1}C)}^{-1}B{D}^{-1}\\ -D^{-1}C{(A-B{D}^{-1}C)}^{-1}& D^{-1}+D^{-1}C{(A-B{D}^{-1}C)}^{-1}B{D}^{-1}\end{array}\right].\end{array}$

Un lema sobre l'inversió de matrius ilustra les relacions entre lo anterior i la deducció equivalent en les posicions de A i D intercanviades.

Propietats

• Si M és una matriu simètrica definida positiva, llavors també ho és el complement de Schur de D en M.

• Si p i q són abdós 1 (és dir, A, B, C i D són tots escalares), s'obté la familiar fòrmula per a l'invers d'una matriu de 2 per 2:

$M^{-1}=\frac{1}{AD-BC}\left[\begin{array}{cc}D& -B\\ -C& A\end{array}\right]$

sempre que AD − BC no siga zero.

• El determinant de M també es veu clarament com a dau per

$\det (M)=\det (D)\det (A-B{D}^{-1}C)$

que generalisa la fòrmula del determinant per a matrius de 2x2.

• (Fòrmula d'adició de ranc de Guttman) El ranc de M ve dau per

$\mathrm{rank}(M)=\mathrm{rank}(D)+\mathrm{rank}(A-B{D}^{-1}C)$

• (Fòrmula de aditividad inercial de Haynsworth) La "inèrcia" d'un bloc de la matriu "M" és igual a l'inèrcia de "A" més l'inèrcia de "M"/"A".

Vore també

• Procés de Gauss