Conjectura de Agoh-Giuga

En teoria de números, la conjectura de Agoh-Giuga postula que un sancer positiu p és un número primo si i solament si

$p{B}_{p-1}\equiv -1(\mathrm{mod}p).$

a on $B_{p-1}$ és el (p-1)-ésimo número de Bernoulli.

Va ser nomenada en honor a Takashi Agoh i Giuseppe Giuga.

Formulació equivalent

La formulació indicada anteriorment de la conjectura es deu a Takashi Agoh (1990); una formulació equivalent es deu a Giuseppe Giuga, que en 1950 conjeturó que p és primer si

$1^{p-1}+2^{p-1}+\cdots +(p-1{)}^{p-1}\equiv -1(\mathrm{mod}p)$

o de forma similar,

$\sum _{i=1}^{p-1}{i}^{p-1}\equiv -1(\mathrm{mod}p).$

És fàcil demostrar que supondre p és un número primo és suficient per a asseverar la relació de congruència, ya que si p és primer, el Menuda Teorema de Fermat afirma que

$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$

a on $a=1,2,\dots ,p-1$, i el resultat seguix del fet que $p-1\equiv -1(\mathrm{mod}p).$

Estat

L'enunciat seguix sent una conjectura, ya que encara no ha segut provat el fet que si un número n no és primer (és dir, n és compost), llavors la fòrmula no es complix. No obstant, sí s'ha demostrat que un número compuesto n satisfà la fòrmula si i solament si és al mateix temps un número de Carmichael i un número de Giuga, i que si tal número existix, deu tindre a lo manco 13800 dígits (Borwein, Borwein, Borwein, Girgensohn, 1996).

Bibliografia

• (1995).Manuscripta Mathematica.87(4)

501-510.doi:10.1007/bf02570490.

• (1996).American Mathematical Monthly.103

40-50.doi:10.2307/2975213.Consultat el 30 de giner de 2016.

• (1951).Ist.Lombardo Sci. Lett., Rend., Cl. Sci. Mat. Natur..83

511–518.ISSN 0375-9164.

• (2001).Quaderni vaig donar Economia, Matematica i Statistica, DESP, Università vaig donar Urbino Carlo Bo.68ISSN 1720-9668.