Conjectura de Yamabe

La conjectura de Yamabe és un problema de geometria diferencial que es referix a l'existència de mètriques de Riemann en curvatura escalar constant , i pren el seu nom del matemàtic Hidehiko Yamabe. A principis de 1960 Yamabe va afirmar tindre una solució, i va morir a finals d'eixe mateix any. Pero Trudinger en 1968 va descobrir un error crític en la prova. El treball combinat de Neil Trudinger, Thierry Aubin i Richard Schoen després va proporcionar una solució completa al problema en 1984.

Enunciat

El problema de Yamabe és el següent: donada una varietat suau i compacta M de dimensió n ≥ 3 en una mètrica riemanniana g, ¿existix una mètrica g' conforme a g per a la qual la curvatura escalar de g' és constant? En atres paraules, ¿existix una funció suau f en M per a la qual la mètrica g' = i^2fg té una curvatura escalar constant?

Resposta

Ara se sap que la resposta és sí, i es va demostrar usant tècniques de geometria diferencial, anàlisis funcional i equacions diferencials parcials.

Bibliografia

• (1987).«The Yamabe problem».Bulletin of the American Mathematical Society.17

37–81.doi:10.1090/s0273-0979-1987-15514-5..

• (1968).«Remarks concerning the conformal deformation of Riemannian structures on compact manifolds».Ann. Scuola Norm. Sup. Chafa (3).22

265–274.

• (1960).«On a deformation of Riemannian structures on compact manifolds».Osaka Journal of Mathematics.12

21–37.ISSN 0030-6126.

• (1984).«Conformal deformation of a Riemannian metric to constant scalar curvature».J. Differential Geom..20

479–495..

• (1976).«Équations différentielles senar linéaires et problème de Yamabe concernant la courbure scalaire».J. Math. Pures Appl..(9) 55

269–296..

• (1988).«A counterexample to the Yamabe problem for complete noncompact manifolds».Lect. Notes Math..1306

93–101..doi:10.1007/BFb0082927.