Constant Du Bois Reymond

Les constants Du Bois Reymond, (Paul David Gustav) $C_n$ estan definides per

$C_n\equiv \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\left|\frac{d}{dt}{\left(\frac{\mathrm{sen}t}{t}\right)}^n\right|dt-1$

Estes constants poden també escriure's com:

$C_n=2\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(1+x_k^2{)}^{(-n/2)}$

a on $x_k$ és la k-ésima raïl de

$t=\tan (t)$

Ademés tenim la següent série

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x_k^2}=\frac{1}{10}$

En el següent gràfic es veu la representació de la funció

$\left|\frac{d}{dt}{\left(\frac{\mathrm{sen}t}{t}\right)}^n\right|$

per als primers quatre valors de $n$

L'integració numèrica d'esta funció és difícil. Els quatre primers valors d'estes constants són:

$C_1$ divergix

$C_2\approx 0.1945$

$C_3\approx 0.028254$

$C_4\approx 0.00524054$

Les constants parells de Bois Reymond poden ser calculades analíticamente com polinomis en $e^2$.

$C_2=\frac{1}{2}(e^2-7)$

$C_4=\frac{1}{8}(e^4-4e^2-25)$