Desigualtat de Jensen

Archiu:Jensen graph.png

Una prova gràfica de la desigualtat de Jensen.

En matemàtiques, la desigualtat de Jensen para funcions convexas relaciona el valor que assigna a una integral en l'integral d'eixa mateixa funció permutant, per aixina dir-ho, la funció i l'integral. Va ser provada pel matemàtic danés Johan Jensen en 1906. Donada la seua generalitat, la desigualtat apareix en múltiples contexts.

Formulació

En la seua formulació més simple, la desigualtat és la següent: una transformació convexa de la mija és menor o igual en valor que la mija d'una transformació convexa. No obstant, la seua formulació formal més general s'expressa en el context de la teoria de la mida:

Siga (Ω, A, μ) un espai de mida tal que μ(Ω) = 1. Si g és una funció real μ-integrable i φ una funció convexa en l'eix real, llavors:

$\phi \left(\underset{\Omega }{\int }gd\mu \right)\le \underset{\Omega }{\int }\phi \circ gd\mu .$

Casos particulars

Formulació finita

Donada una funció convexa φ, números x₁, x₂, ..., x_n en el seu domini i pesos positius a_i es complix que:

$\phi \left(\frac{\sum a_i{x}_i}{\sum a_i}\right)\le \frac{\sum a_i\phi (x_i)}{\sum a_i}.$

En particular, si els pesos a_i són tots iguals a 1, llavors

$\phi \left(\frac{\sum x_i}{n}\right)\le \frac{\sum \phi (x_i)}{n}.$

Per eixemple, com la funció -log(x) és convexa, la desigualtat anterior pot concretar-se en

$\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}\ge \sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_n}.$

En anàlisis real

Si $a<b$ són número real i $f:[a,b]\to ℝ$ és una funció real integrable, llavors, reescalando, es pot aplicar la desigualtat de Jensen per a obtindre

$\phi (\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx)\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}\phi ((b-a)f(x))\frac{1}{b-a}dx.$

Per un atre costat, si f(x) és una funció no negativa tal que

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=1,$

g és una funció real qualsevol i φ és una funció convexa sobre el ranc de g, llavors

$\phi (\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}g(x)f(x)dx)\le \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\phi (g(x))f(x)dx.$

En cas que g siga la funció identitat, s'obté

$\phi (\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xf(x)dx)\le \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\phi (x)f(x)dx.$

Vore també

• Demostració sense paraules, en una demostració de la desigualtat

Bibliografia

• Walter Rudin (1979). Anàlisis real i complex, Alhambra. ISBN 84-205-0651-6.
• N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone (1996). Analisi Matematica Due, Liguori. ISBN ISBN 978-88-207-2675-1.