Desigualtat de Samuelson

En estadística, la desigualtat de Samuelson (o inecuación), que du el nom de l'economiste Paul Samuelson,^[1] també coneguda com a desigualtat de Laguerre Samuelson,^[2]^[3] en referència al matemàtic Edmond Laguerre, declara que per a qualsevol colecció de valors reals x₁, ..., x_n, tots els seus elements estan dins de Plantilla:Raïl voltes la desviació típica de la mostra no corregida, respecte a la seua mija mostral.

Declaració de la desigualtat

Siga

\overline{x} = \frac{x_{1} + \dots + x_{n}}{n}

la mija de la mostra i

s = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \overline{x})^{2}}

la desviació estàndar de la mostra, llavors^[4]

\overline{x} - s \sqrt{n - 1} \leq x_{j} \leq \overline{x} + s \sqrt{n - 1} para j = 1, \dots, n .

L'igualtat es manté a l'esquerra (o a la dreta) para $x_{j}$ si i solament si tots els (n − 1) $x_{i}$ distints de $x_{j}$ són iguals entre sí i majors (o més menuts) que $x_{j} .$ ^[2]

Comparació en la desigualtat de Chebyshov

Artícul principal → Desigualtat de Chebyshov.

La desigualtat de Chebyshov localisa una certa fracció de les senyes dins de certs llímits, mentres que la desigualtat de Samuelson ubica totes les senyes dins de certs llímits.

Els llímits donats per la desigualtat de Chebyshov no es veuen afectats pel número de senyes, mentres que per a la desigualtat de Samuelson, els llímits disminuïxen a mida que aumenta el tamany de la mostra. Per lo tant, per a conjunts de senyes suficientment grans, la desigualtat de Chebyshov és més útil.

Referències

↑ Samuelson, Paul (1968). “How Deviant Ca You Be?”. Journal of the American Statistical Association 63 (324): 1522–1525. doi:10.2307/2285901.
↑ ^2,0 ^2,1 «The Laguerre–Samuelson Inequality with Extensions and Applications in Statistics and Matrix Theory».Department of Mathematics and Statistics, Universitat McGill.
↑ Jensen, Shane T. (1999). «Some Comments and a Bibliography on the Laguerre-Samuelson Inequality with Extensions and Applications in Statistics and Matrix Theory», Analytic and Geometric Inequalities and Applications, pp. 151–181. doi:10.1007/978-94-011-4577-0_10.
↑ Barnett, Neil S. (2008). Advances in Inequalities from Probability Theory and Statistics, Nova Publishers, p. 164. ISBN 978-1-60021-943-6.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Desigualdad de Samuelson» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Samuelson, Paul (1968). “How Deviant Ca You Be?”. Journal of the American Statistical Association 63 (324): 1522–1525. doi:10.2307/2285901.

[Jensen-2] 2,0 ^2,1 «The Laguerre–Samuelson Inequality with Extensions and Applications in Statistics and Matrix Theory».Department of Mathematics and Statistics, Universitat McGill.

[3] Jensen, Shane T. (1999). «Some Comments and a Bibliography on the Laguerre-Samuelson Inequality with Extensions and Applications in Statistics and Matrix Theory», Analytic and Geometric Inequalities and Applications, pp. 151–181. doi:10.1007/978-94-011-4577-0_10.

[4] Barnett, Neil S. (2008). Advances in Inequalities from Probability Theory and Statistics, Nova Publishers, p. 164. ISBN 978-1-60021-943-6.

[1]

[2]

[3]

[4]