Dispersió refractiva

Dispersió refractiva

La dispersió de la llum és un fenomen que es produïx quan un raig de llum blanca pansa d'un mig a un atre i es refracta. Dins d'un mateix mig, la llum es refracta de manera distinta en funció de la seua llongitut d'ona, fent que cada color tinga velocitats de propagació llaugerament diferents. A esta combinació dels fenomens de dispersió i refracció en un mig se li coneix com a dispersió refractiva.

Es definix com a refracció al fenomen pel qual un raig de llum canvia la seua direcció a l'incidir sobre un mig. Este comportament ve descrit per la Llei de Snell:

$n_1\cdot sin({\theta }_1)=n_2\cdot sin({\theta }_2)$

A on $n_1$, $n_2$ són els índexs de refracció dels mijos involucrats i ${\theta }_1$, ${\theta }_2$ els ànguls d'incidència i refracció respectivament.

L'índex de refracció nos dona el cocient entre la velocitat de la llum en el buit ($c=3\cdot 10^{8}m/s$) i la velocitat de la llum en eixe mig. Podem expressar per tant la velocitat de fase d'una ona en un mig uniforme per mig de la següent equació

$v=\frac{c}{n}$

Esta expressió nos indica que, quant major siga l'índex de refración d'un mig, més llenta viajarà la llum en ell i major serà la seua desviació respecte de la direcció de l'raer incident.

L'índex de refracció $n$ és a la seua volta depenent de la llongitut d'ona de la llum incident, fent que la refracció afecte de manera distinta a cada color. A esta dependència de l'índex de refracció en la llongitut d'ona se li denomina dispersió.

Els valors típics de l'índex de refracció de vidres i cristals per a llongituts d'ona del visible es troben entre 1,4 i 2,8. Estos materials presenten una alta transmitancia en esta regió espectral, que se situa entre dos regions espectrals de forta absorció: l'ultravioleta, per les transicions electròniques; i l'infrarrojo propenc o mig, pels modos de vibració del material.

Eixemple

Un eixemple del fenomen de dispersió refractiva és la dispersió de la llum blanca, com la del Sol, en els diferents colores que la componen en travessar un prisma transparent. ya que $n_{prisma}>n_{aire}\approx 1$, la llum es refracta en incidir sobre la superfície, desviant-se llaugerament respecte de la seua direcció inicial i disminuint la seua velocitat. En viajar en l'interior del prisma, la llum blanca experimenta una dispersió normal: el color roig  ($\lambda \sim 700nm$) serà el que experimente una menor desviació, mentres que el violeta ($\lambda \sim 400nm$) serà el color més desviat, generant-se a l'eixida del prisma un efecte similar al d'un arcoíris.

L'experiment de dispersió de la llum blanca en un prisma va ser realisat pel físic, astrònom i matemàtic Isaac Newton en 1665, demostrant que la llum blanca estava està constituïda per la superposició de tots els colors.

El fenomen de dispersió

Cridem dispersió a la dependència de l'índex de refracció en la llongitut d'ona de la llum. En els materials transparents, la desviació que experimenta la llum és inversamente proporcional a la seua llongitut d'ona. A este comportament se li denomina dispersió normal ($dn/d\lambda <0$). Per un atre costat, la dispersió anómala serà aquella en la que l'índex de refracció aumenta en la llongitut d'ona ($dn/d\lambda >0$). Esta última sol donar-se en la regió ultravioleta de l'espectre electromagnètic.

Des d'un punt de vista físic, la dispersió pot explicar-se aplicant la teoria electromagnètica a l'estructura molecular de la matèria. Quan una ona electromagnètica incidix en un àtom o molècula, es produïx una vibració en les càrregues lligades la freqüència de les quals $\omega$ coincidix en la freqüència de l'ona. Dites càrregues lligades tindran una freqüència de resonància ${\omega }_0$.

La dispersió de la llum per un material pot ser un efecte desijable o indesijable en les aplicacions òptiques. Els prismes de vidre solen dispersar la llum en un ample de banda de freqüències molt major que les rets de difracció, fent-los útils per a construir espectrómetros i espectroradiómetros. En les lents en canvi, la dispersió provoca aberració cromàtica, un efecte no desijat que pot degradar les imàgens en microscopis, telescopis i objectius fotogràfics.

Dispersió del material i de la guia d'ones

En una guia d'ones, hi ha dos tipos de dispersió presents. Per un costat, la dispersió cromàtica o del material sol referir-se a la dispersió del material a granel, és dir, al canvi de l'índex de refracció en la freqüència òptica. Per un atre costat, per la geometria de l'estructura apareix el fenomen de dispersió en guia d'ones, que confina l'ona en una regió de l'espai. D'esta forma, nos permeten evitar les pèrdues no desijades, fent-les una tecnologia útil en la comunicació i transmissió d'informació. La dispersió en guia d'ones pot donar-se en qualsevol estructura no homogénea (per eixemple, un cristal fotònic), independentment de si les ones estan confinades en alguna regió o no. En la fibra òptica, la dispersió cromàtica i de la guia d'ones poden anular-se mútuament de forma efectiva per a produir una llongitut d'ona de dispersió zero, important per a la comunicació per fibra òptica ràpida.

Dispersió material en òptica

Variació de l'índex de refracció en funció de la llongitut d'ona per a varis vidres. Les llongituts d'ona de la llum visible han segut resaltades en grisa.

En general, l'índex de refracció $n$ d'un material és una funció de la freqüència $\nu$ de la llum incident, o lo que és equivalent, de la seua llongitut d'ona $\lambda =\frac{c}{\nu }$. La dependència de la llongitut d'ona de l'índex de refracció del material és per lo general quantificada pel seu número de Abbe o els seus coeficients en una fòrmula empírica tals com les equacions de Cauchy o Sellmeier.

Per les relacions de Kramers-Kronig, la dependència de la llongitut d'ona de la part real de l'índex de refracció es troba relacionada en l'absorció del material, descrita per la component imaginària de l'índex de refracció (també denominat el coeficient d'extinció). En particular, per al cas de materials no-magnètics (μ = μ₀), la susceptibilitat χ que apareix en les relacions de Kramers–Kronig és la susceptibilitat elèctrica χ_i = n² − 1.

La conseqüència comunament observada de la dispersió en òptica és la separació de la llum blanca en l'espectre de colors per mig d'un prisma. A partir de la llei de Snell s'observa que l'àngul de refracció de la llum en un prisma depén de l'índex de refracció del material del prisma. Com eixe índex de refracció varia en la llongitut d'ona, es deduïx que l'àngul en el que es refracta la llum també variarà en la llongitut d'ona, provocant una separació angular dels colors coneguda com a dispersió angular.

Per a la llum visible, els índexs de refracció n de la majoria dels materials transparents (per eixemple, l'aire, els vidres) disminuïxen en aumentar la llongitut d'ona λ:

$1<n({\lambda }_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}})<n({\lambda }_{\mathrm{y}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}})<n({\lambda }_{\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{e}}),$

o alternativament:

$\frac{dn}{d\lambda }<0.$

En este cas, es diu que el mig té una dispersió normal. Mentres que, si l'índex aumenta en l'increment de la llongitut d'ona (lo que sol ocórrer en el ultravioleta), es diu que el mig té una dispersió anómala.

En l'interfaç de dit material en l'aire o el buit (índex de 1), la llei de Snell prediu que la llum que incidix en un àngul θ sobre la normal es refractará en un àngul arcsin(Plantilla:Sfrac). Per lo tant, la llum blava, en un índex de refracció més alt, es refractará més fortament que la llum roja, donant com resultat el conegut patró del arc iris.

Dispersió de la velocitat de grup

Evolució temporal d'un pols en un mig dispersivo (k=w^2) que mostra que els components de major llongitut d'ona viagen més ràpit que els de menor llongitut d'ona (GVD > 0), lo que dona lloc a una disminució de l'amplitut i a una eixamplada del pols.

Més allà de la simple descripció d'un canvi en la velocitat de fase sobre la llongitut d'ona, una conseqüència més greu de la dispersió en moltes aplicacions es denomina dispersió de la velocitat de grup (GVD). Mentres que la velocitat de fase v es definix com a v = Plantilla:Sfrac, açò descriu només un component de freqüència. Quan es combinen diferents components de freqüència, com quan es considera una senyal o un pols, un sol estar més interessat en la velocitat de grup que descriu la velocitat a la que es propaga un pols o informació superposta a una ona (modulació). En l'animació adjunta, es pot vore que la pròpia ona (taronja-marró) viaja una velocitat de fase que és molt més ràpida que la velocitat de la envolvente (negre) que correspon a la velocitat de grup. Este pols podria ser una senyal de comunicacions, per eixemple, i la seua informació només viaja a la velocitat de grup encara que estiga formada per fronts d'ona que alvancen a una velocitat major (la velocitat de fase).

És possible calcular la velocitat de grup a partir de la curva de l'índex de refracció n(ω) o més directament a partir de l'número k = ωn/c a on ω és la freqüència en radianes ω=2πf. Mentres que una expressió de la velocitat de fase és v_p=ω/k, la velocitat de grup es pot expressar utilisant la derivada: v_g=dω/dk. O en funció de la velocitat de fase v_p,

$v_g=\frac{v_p}{1-\frac{\omega }{v_p}\frac{d{v}_p}{d\omega }}.$

Quan hi ha dispersió, la velocitat de grup no només no és igual a la velocitat de fase, sino que generalment varia en la llongitut d'ona. Açò es coneix com a dispersió de la velocitat de grup i fa que un pols curt de llum s'eixample, ya que els diferents components de freqüència dins del pols viagen a diferents velocitats. La dispersió de la velocitat de grup es quantifica com la derivada del recíproc de la velocitat de grup sobre la freqüència del radián, lo que resulta en la dispersió de la velocitat de grup = Plantilla:Sfrac.

Si un pols de llum es propaga a través d'un material en dispersió de velocitat de grup positiva, els components de menor llongitut d'ona viagen més llentament que els components de major llongitut d'ona. Per lo tant, el pols es convertix en un "chirrido positiu", o "chirrido ascendent", aumentant la freqüència en el temps. Per un atre costat, si un pols viaja a través d'un material en dispersió de velocitat de grup negativa, els components de llongitut d'ona més curts viagen més ràpit que els més llarcs, i el pols es torna negativament chirpado, o down-chirped, disminuint en freqüència en el temps.

Un eixemple quotidià de senyal en chirrido negatiu en l'àmbit acústic és el d'un tren que s'aproxima i choca en les deformacions d'una via soldada. El sò provocat pel propi tren és impulsiu i viaja molt més ràpit en les vies metàliques que en l'aire, per lo que el tren se sent molt abans d'aplegar. No obstant, des de llunt no se sent com si provocara impulsos, sino que dona lloc a un distintiu chirrido descendent, en mig de la reverberació causada per la complexitat dels modos vibratorios de la via. La dispersió de la velocitat del grup es percep que el volum dels sons permaneix audible durant un temps sorprenentment llarc, fins a varis segons.

El paràmetro de dispersió de la velocitat de grup:

$D=\frac{1}{c}\frac{dn}{d\lambda }.$

a sovint s'utilisa per a quantificar GVD, que és proporcional a D a través d'un factor negatiu:

$D=-\frac{2\pi c}{{\lambda }^2}\frac{d^{2}k}{d{\omega }^2}.$

Segons alguns autors es diu que un mig té una dispersió normal/dispersió anormal para determinades llongituts d'ona en buit λ₀ si la segona derivada de l'índex de refracció calculada en λ₀ és positiva/negativa o, de manera equivalent, si D(λ₀) és negatiu/positiu. Esta definició es referix a la dispersió de la velocitat de grup i no deu confondre's en la donada en la secció anterior. Les dos definicions no coincidixen en general, per lo que el llector deu entendre el context.

Formulació generalisada dels alts órdens de dispersió - Òptica de Lah-Laguerre

La descripció de la dispersió cromàtica de forma perturbativa per mig de coeficients de Taylor és ventajosa per als problemes d'optimisació en els que és necessari equilibrar la dispersió de varis sistemes diferents. Per eixemple, en els amplificadors làser de polsos chirp, els polsos s'estiren primer en el temps per mig d'un estirador per a evitar danys òptics. Despuix, en el procés d'amplificament, els polsos acumulen inevitablement fase llineal i no llineal en passar pels materials açò desenfoca el punt radial de l'espill per això es veu aixina en eixos colors. I per últim, els polsos es comprimixen en varis tipos de compressors. Per a cancelar qualsevol orde residual superior en la fase acumulada, normalment es medixen i equilibren els órdens individuals. No obstant, per als sistemes uniformes, esta descripció perturbadora no sol ser necessària (per eixemple, la propagació en guies d'ona). Els órdens de dispersió s'han generalisat d'una manera computacionalment amigable, en forma de transformades de tipo Lah-Laguerre.

Els órdens de dispersió es definixen per l'expansió de Taylor de la fase o del vector d'ona.

$\begin{array}{c}\phi \mathrm{(}\omega \mathrm{)}=\phi {|}_{{\omega }_0}+{\frac{\partial \phi }{\partial \omega }|}_{{\omega }_0}(\omega -{\omega }_0)+\frac{1}{2}{\frac{{\partial }^2\phi }{\partial {\omega }^2}|}_{{\omega }_0}{(\omega -{\omega }_0)}^2+\dots +\frac{1}{p!}{\frac{{\partial }^p\phi }{\partial {\omega }^p}|}_{{\omega }_0}{(\omega -{\omega }_0)}^p+\dots \end{array}$

$\begin{array}{c}k\mathrm{(}\omega \mathrm{)}=k{|}_{{\omega }_0}+{\frac{\partial k}{\partial \omega }|}_{{\omega }_0}(\omega -{\omega }_0)+\frac{1}{2}{\frac{{\partial }^{2}k}{\partial {\omega }^2}|}_{{\omega }_0}{(\omega -{\omega }_0)}^2+\dots +\frac{1}{p!}{\frac{{\partial }^{p}k}{\partial {\omega }^p}|}_{{\omega }_0}{(\omega -{\omega }_0)}^p+\dots \end{array}$

Les relacions de dispersió per al wavector $k\mathrm{(}\omega \mathrm{)}=\frac{\omega }{c}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}$ i la fase $\phi \mathrm{(}\omega \mathrm{)}=\frac{\omega }{c}𝑂𝑃\mathrm{(}\omega \mathrm{)}$ pot expressar-se com:

$\begin{array}{c}\frac{{\partial }^p}{\partial {\omega }^p}k\mathrm{(}\omega \mathrm{)}=\frac{1}{c}(p\frac{{\partial }^{p-1}}{\partial {\omega }^{p-1}}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}+\omega \frac{{\partial }^p}{\partial {\omega }^p}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)})\end{array}$, $\begin{array}{c}\frac{{\partial }^p}{\partial {\omega }^p}\phi \mathrm{(}\omega \mathrm{)}=\frac{1}{c}(p\frac{{\partial }^{p-1}}{\partial {\omega }^{p-1}}𝑂𝑃\mathrm{(}\omega \mathrm{)}+\omega \frac{{\partial }^p}{\partial {\omega }^p}𝑂𝑃\mathrm{(}\omega \mathrm{)})\end{array}(1)$

Les derivades de qualsevol funció diferenciable $f\mathrm{(}\omega \mathrm{|}\lambda \mathrm{)}$ en la llongitut d'ona o l'espai de la freqüència s'especifica a través d'una transformada de Lah com:

$\begin{array}{c}\frac{\partial p}{\partial {\omega }^p}f\mathrm{(}\omega \mathrm{)}={\left(\mathrm{-}\mathrm{1}\right)}^p{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^p\sum _{m=0}^p𝒜\mathrm{(}p,m\mathrm{)}{\lambda }^m\frac{{\partial }^m}{\partial {\lambda }^m}f\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}\end{array}$ $,$ $\begin{array}{c}\frac{{\partial }^p}{\partial {\lambda }^p}f\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}={\left(\mathrm{-}\mathrm{1}\right)}^p{\left(\frac{\omega }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^p\sum _{m=0}^p𝒜\mathrm{(}p,m\mathrm{)}{\omega }^m\frac{{\partial }^m}{\partial {\omega }^m}f\mathrm{(}\omega \mathrm{)}\end{array}(2)$

Els elements de la matriu de la transformació són els coeficients de Lah: $𝒜\mathrm{(}p,m\mathrm{)}=\frac{p\mathrm{!}}{\left(p\mathrm{-}m\right)\mathrm{!}m\mathrm{!}}\frac{\mathrm{(}p\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{)}\mathrm{!}}{\mathrm{(}m\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{)}\mathrm{!}}$

Escrita per a la GDD l'expressió anterior establix que una constant en llongitut d'ona GGD, tindrà zero órdens superiors. Els órdens superiors evaluats a partir del GDD són: $\begin{array}{c}\frac{{\partial }^p}{\partial {\omega }^p}GDD\mathrm{(}\omega \mathrm{)}={\left(\mathrm{-}\mathrm{1}\right)}^p{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^p\sum _{m=0}^p𝒜\mathrm{(}p,m\mathrm{)}{\lambda }^m\frac{{\partial }^m}{\partial {\lambda }^m}GDD\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}\end{array}$

Substituint l'equació (2) expressada per a l'índex de refracció $n$ o el recorregut òptic $OP$ en l'equació (1) s'obtenen expressions de forma tancada per als órdens de dispersió. En general la dispersió d'orde $p^{th}$ POD és una transformada de tipo Laguerre d'orde negatiu dos:

$POD=\frac{d^p\phi (\omega )}{d{\omega }^p}=(-1{)}^p(\frac{\lambda }{2\pi c}{)}^{(p-1)}\sum _{m=0}^pℬ\mathcal{(}𝓅,𝓂\mathcal{)}(\lambda {)}^m\frac{d^{m}OP(\lambda )}{d{\lambda }^m}$ $,$ $POD=\frac{d^{p}k(\omega )}{d{\omega }^p}=(-1{)}^p(\frac{\lambda }{2\pi c}{)}^{(p-1)}\sum _{m=0}^pℬ\mathcal{(}𝓅,𝓂\mathcal{)}(\lambda {)}^m\frac{d^{m}n(\lambda )}{d{\lambda }^m}$

Els elements de la matriu de les transformacions són els coeficients de Laguerre sense signe d'orde menys 2, i estan donats com: $ℬ\mathrm{(}p,m\mathrm{)}=\frac{p\mathrm{!}}{\left(p\mathrm{-}m\right)\mathrm{!}m\mathrm{!}}\frac{\mathrm{(}p\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{)}\mathrm{!}}{\mathrm{(}m\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{)}\mathrm{!}}$

Els dèu primers órdens de dispersió, escrits explícitament per al vector d'ona, són:

$\begin{array}{c}𝐺𝐷=\frac{\partial }{\partial \omega }k\mathrm{(}\omega \mathrm{)}=\frac{\mathrm{1}}{c}(n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}+\omega \frac{\partial n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial \omega })=\frac{\mathrm{1}}{c}(n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}-\lambda \frac{\partial n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial \lambda })=v_{gr}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}\end{array}$

L'índex de refracció de grup $n_g$ es definix com: $n_g=c{v}_{gr}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$.

$\begin{array}{c}𝐺𝐷𝐷=\frac{{\partial }^2}{\partial {\omega }^{\mathrm{2}}}k\mathrm{(}\omega \mathrm{)}=\frac{\mathrm{1}}{c}(\mathrm{2}\frac{\partial n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial \omega }+\omega \frac{{\partial }^{2}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{2}}})=\frac{\mathrm{1}}{c}\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)\left({\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^{2}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}\right)\end{array}$

$\begin{array}{c}𝑇𝑂𝐷=\frac{{\partial }^3}{\partial {\omega }^{\mathrm{3}}}k\mathrm{(}\omega \mathrm{)}=\frac{\mathrm{1}}{c}(\mathrm{3}\frac{{\partial }^{2}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{2}}}+\omega \frac{{\partial }^{3}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{3}}})=-\frac{\mathrm{1}}{c}{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{2}}(\mathrm{3}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^{2}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}+{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{{\partial }^{3}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}})\end{array}$

$\begin{array}{c}𝐹𝑂𝐷=\frac{{\partial }^4}{\partial {\omega }^{\mathrm{4}}}k\mathrm{(}\omega \mathrm{)}=\frac{\mathrm{1}}{c}(\mathrm{4}\frac{{\partial }^{3}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{3}}}+\omega \frac{{\partial }^{4}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{4}}})=\frac{\mathrm{1}}{c}{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{3}}(\mathrm{12}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^{2}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}+\mathrm{8}{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{{\partial }^{3}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}}+{\lambda }^{\mathrm{4}}\frac{{\partial }^{4}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{4}}})\end{array}$

$\begin{array}{c}𝐹𝑖𝑂𝐷=\frac{{\partial }^5}{\partial {\omega }^{\mathrm{5}}}k\mathrm{(}\omega \mathrm{)}=\frac{\mathrm{1}}{c}(\mathrm{5}\frac{{\partial }^{4}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{4}}}+\omega \frac{{\partial }^{5}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{5}}})=-\frac{\mathrm{1}}{c}{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{4}}(\mathrm{60}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^{2}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}+\mathrm{60}{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{{\partial }^{3}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}}+\mathrm{15}{\lambda }^{\mathrm{4}}\frac{{\partial }^{4}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{4}}}+{\lambda }^{\mathrm{5}}\frac{{\partial }^{5}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{5}}})\end{array}$

$\begin{array}{c}𝑆𝑖𝑂𝐷=\frac{{\partial }^6}{\partial {\omega }^{\mathrm{6}}}k\mathrm{(}\omega \mathrm{)}=\frac{\mathrm{1}}{c}(\mathrm{6}\frac{{\partial }^{5}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{5}}}+\omega \frac{{\partial }^{6}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{6}}})=\frac{\mathrm{1}}{c}{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{5}}(\mathrm{360}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^{2}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}+\mathrm{480}{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{{\partial }^{3}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}}+\mathrm{180}{\lambda }^{\mathrm{4}}\frac{{\partial }^{4}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{4}}}+\mathrm{24}{\lambda }^{\mathrm{5}}\frac{{\partial }^{5}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{5}}}+{\lambda }^{\mathrm{6}}\frac{{\partial }^{6}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{6}}})\end{array}$

$\begin{array}{c}𝑆𝑒𝑂𝐷=\frac{{\partial }^7}{\partial {\omega }^{\mathrm{7}}}k\mathrm{(}\omega \mathrm{)}=\frac{\mathrm{1}}{c}(\mathrm{7}\frac{{\partial }^{6}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{{\partial \omega }^{\mathrm{6}}}+\omega \frac{{\partial }^{7}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{{\partial \omega }^{\mathrm{7}}})=-\frac{\mathrm{1}}{c}{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{6}}(\mathrm{2520}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^{2}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}+\mathrm{4200}{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{{\partial }^{3}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}}+\mathrm{2100}{\lambda }^{\mathrm{4}}\frac{{\partial }^{4}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{4}}}+\mathrm{420}{\lambda }^{\mathrm{5}}\frac{{\partial }^{5}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{5}}}+\mathrm{35}{\lambda }^{\mathrm{6}}\frac{{\partial }^{6}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{6}}}+{\lambda }^{\mathrm{7}}\frac{{\partial }^{7}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{7}}})\end{array}$

$\begin{array}{c}𝐸𝑂𝐷=\frac{{\partial }^8}{\partial {\omega }^{\mathrm{8}}}k\mathrm{(}\omega \mathrm{)}=\frac{\mathrm{1}}{c}(\mathrm{8}\frac{{\partial }^{7}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{{\partial \omega }^{\mathrm{7}}}+\omega \frac{{\partial }^{8}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{8}}})=\frac{\mathrm{1}}{c}{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{7}}(\mathrm{20160}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^{2}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}+\mathrm{40320}{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{{\partial }^{3}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}}+\mathrm{25200}{\lambda }^{\mathrm{4}}\frac{{\partial }^{4}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{4}}}+\mathrm{6720}{\lambda }^{\mathrm{5}}\frac{{\partial }^{5}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{5}}}+\mathrm{840}{\lambda }^{\mathrm{6}}\frac{{\partial }^{6}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{6}}}+\\ +\mathrm{48}{\lambda }^{\mathrm{7}}\frac{{\partial }^{7}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{7}}}+{\lambda }^{\mathrm{8}}\frac{{\partial }^{8}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{8}}})\end{array}$

$\begin{array}{c}𝑁𝑂𝐷=\frac{{\partial }^9}{\partial {\omega }^{\mathrm{9}}}k\mathrm{(}\omega \mathrm{)}=\frac{\mathrm{1}}{c}(\mathrm{9}\frac{{\partial }^{8}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{8}}}+\omega \frac{{\partial }^{9}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{9}}})=-\frac{\mathrm{1}}{c}{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{8}}(\mathrm{181440}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^{2}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}+\mathrm{423360}{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{{\partial }^{3}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}}+\mathrm{317520}{\lambda }^{\mathrm{4}}\frac{{\partial }^{4}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{4}}}+\mathrm{105840}{\lambda }^{\mathrm{5}}\frac{{\partial }^{5}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{5}}}+\mathrm{17640}{\lambda }^{\mathrm{6}}\frac{{\partial }^{6}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{6}}}+\\ +\mathrm{1512}{\lambda }^{\mathrm{7}}\frac{{\partial }^{7}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{7}}}+\mathrm{63}{\lambda }^{\mathrm{8}}\frac{{\partial }^{8}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{8}}}+{\lambda }^{\mathrm{9}}\frac{{\partial }^{9}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{9}}})\end{array}$

$\begin{array}{c}𝑇𝑒𝑂𝐷=\frac{{\partial }^{10}}{\partial {\omega }^{\mathrm{10}}}k\mathrm{(}\omega \mathrm{)}=\frac{\mathrm{1}}{c}(\mathrm{10}\frac{{\partial }^{9}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{9}}}+\omega \frac{{\partial }^{10}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{10}}})=\frac{\mathrm{1}}{c}{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{9}}(\mathrm{1814400}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^{2}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}+\mathrm{4838400}{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{{\partial }^{3}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}}+\mathrm{4233600}{\lambda }^{\mathrm{4}}\frac{{\partial }^{4}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{4}}}+1693440{\lambda }^{\mathrm{5}}\frac{{\partial }^{5}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{5}}}+\\ +\mathrm{352800}{\lambda }^{\mathrm{6}}\frac{{\partial }^{6}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{6}}}+\mathrm{40320}{\lambda }^{\mathrm{7}}\frac{{\partial }^{7}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{7}}}+\mathrm{2520}{\lambda }^{\mathrm{8}}\frac{{\partial }^{8}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{8}}}+\mathrm{80}{\lambda }^{\mathrm{9}}\frac{{\partial }^{9}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{9}}}+{\lambda }^{\mathrm{10}}\frac{{\partial }^{10}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{10}}})\end{array}$

Explícitament, escrit per a la fase $\phi$, els dèu primers órdens de dispersió es poden expressar en funció de la llongitut d'ona utilisant les transformades de Lah (equació (2)) com:

$\begin{array}{c}\frac{\partial p}{\partial {\omega }^p}f\mathrm{(}\omega \mathrm{)}={\left(\mathrm{-}\mathrm{1}\right)}^p{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^p\sum _{m=0}^p𝒜\mathrm{(}p,m\mathrm{)}{\lambda }^m\frac{{\partial }^m}{\partial {\lambda }^m}f\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}\end{array}$ $,$ $\begin{array}{c}\frac{{\partial }^p}{\partial {\lambda }^p}f\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}={\left(\mathrm{-}\mathrm{1}\right)}^p{\left(\frac{\omega }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^p\sum _{m=0}^p𝒜\mathrm{(}p,m\mathrm{)}{\omega }^m\frac{{\partial }^m}{\partial {\omega }^m}f\mathrm{(}\omega \mathrm{)}\end{array}$ $\begin{array}{c}\frac{\partial \phi \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial \omega }=-\left(\frac{\mathrm{2}\pi c}{{\omega }^{\mathrm{2}}}\right)\frac{\partial \phi \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial \lambda }=-\left(\frac{{\lambda }^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}\pi c}\right)\frac{\partial \phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial \lambda }\end{array}$

$\begin{array}{c}\frac{{\partial }^2\phi \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{2}}}=\frac{\partial }{\partial \omega }\left(\frac{\partial \phi \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial \omega }\right)={\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{2}}(\mathrm{2}\lambda \frac{\partial \phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial \lambda }+{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^2\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}})\end{array}$

$\begin{array}{c}\frac{{\partial }^3\phi \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{3}}}=-{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{3}}(\mathrm{6}\lambda \frac{\partial \phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial \lambda }+\mathrm{6}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^2\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}+{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{{\partial }^3\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}})\end{array}$

$\begin{array}{c}\frac{{\partial }^4\phi \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{4}}}={\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{4}}(\mathrm{24}\lambda \frac{\partial \phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial \lambda }+\mathrm{36}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^2\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}+\mathrm{12}{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{{\partial }^3\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}}+{\lambda }^{\mathrm{4}}\frac{{\partial }^4\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{4}}})\end{array}$

$\begin{array}{c}\frac{{\partial }^{\mathrm{5}}\phi \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{5}}}=-{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{5}}(\mathrm{120}\lambda \frac{\partial \phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial \lambda }+\mathrm{240}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^2\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}+\mathrm{120}{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{{\partial }^3\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}}+\mathrm{20}{\lambda }^{\mathrm{4}}\frac{{\partial }^4\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{4}}}+{\lambda }^{\mathrm{5}}\frac{{\partial }^5\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{5}}})\end{array}$

$\begin{array}{c}\frac{{\partial }^6\phi \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{6}}}={\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{6}}(\mathrm{720}\lambda \frac{\partial \phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial \lambda }+\mathrm{1800}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^2\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}+\mathrm{1200}{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{{\partial }^3\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}}+\mathrm{300}{\lambda }^{\mathrm{4}}\frac{{\partial }^4\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{4}}}+\mathrm{30}{\lambda }^{\mathrm{5}}\frac{{\partial }^5\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{5}}}\mathrm{+}{\lambda }^{\mathrm{6}}\frac{{\partial }^6\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{6}}})\end{array}$

$\begin{array}{c}\frac{{\partial }^7\phi \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{7}}}=-{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{7}}(\mathrm{5040}\lambda \frac{\partial \phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial \lambda }+\mathrm{15120}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^2\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}+\mathrm{12600}{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{{\partial }^3\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}}+\mathrm{4200}{\lambda }^{\mathrm{4}}\frac{{\partial }^4\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{4}}}+\mathrm{630}{\lambda }^{\mathrm{5}}\frac{{\partial }^5\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{5}}}+\mathrm{42}{\lambda }^{\mathrm{6}}\frac{{\partial }^6\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{6}}}+{\lambda }^{\mathrm{7}}\frac{{\partial }^7\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{7}}})\end{array}$

$\begin{array}{c}\frac{{\partial }^8\phi \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{8}}}={\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{8}}(\mathrm{40320}\lambda \frac{\partial \phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial \lambda }+\mathrm{141120}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^2\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}+\mathrm{141120}{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{{\partial }^3\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}}+\mathrm{58800}{\lambda }^{\mathrm{4}}\frac{{\partial }^4\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{4}}}+\mathrm{11760}{\lambda }^{\mathrm{5}}\frac{{\partial }^5\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{5}}}+\mathrm{1176}{\lambda }^{\mathrm{6}}\frac{{\partial }^6\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{6}}}+\mathrm{56}{\lambda }^{\mathrm{7}}\frac{{\partial }^7\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{7}}}+\\ +{\lambda }^{\mathrm{8}}\frac{{\partial }^8\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{8}}})\end{array}$ $\begin{array}{c}\frac{{\partial }^9\phi \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{9}}}=-{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{9}}(\mathrm{362880}\lambda \frac{\partial \phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial \lambda }+\mathrm{1451520}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^2\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}+\mathrm{1693440}{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{{\partial }^3\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}}+\mathrm{846720}{\lambda }^{\mathrm{4}}\frac{{\partial }^4\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{4}}}+\mathrm{211680}{\lambda }^{\mathrm{5}}\frac{{\partial }^5\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{5}}}+\mathrm{28224}{\lambda }^{\mathrm{6}}\frac{{\partial }^6\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{6}}}+\\ +\mathrm{2016}{\lambda }^{\mathrm{7}}\frac{{\partial }^7\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{7}}}+\mathrm{72}{\lambda }^{\mathrm{8}}\frac{{\partial }^8\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{8}}}+{\lambda }^{\mathrm{9}}\frac{{\partial }^{\mathrm{9}}\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{9}}})\end{array}$

$\begin{array}{c}\frac{{\partial }^{10}\phi \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{10}}}={\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{10}}(\mathrm{3628800}\lambda \frac{\partial \phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial \lambda }+\mathrm{16329600}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^2\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}+\mathrm{21772800}{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{{\partial }^3\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}}+\mathrm{12700800}{\lambda }^{\mathrm{4}}\frac{{\partial }^4\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{4}}}+\mathrm{3810240}{\lambda }^{\mathrm{5}}\frac{{\partial }^5\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{5}}}+\mathrm{635040}{\lambda }^{\mathrm{6}}\frac{{\partial }^6\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{6}}}+\\ +\mathrm{60480}{\lambda }^{\mathrm{7}}\frac{{\partial }^7\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{7}}}+\mathrm{3240}{\lambda }^{\mathrm{8}}\frac{{\partial }^8\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{8}}}+\mathrm{90}{\lambda }^{\mathrm{9}}\frac{{\partial }^9\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{9}}}+{\lambda }^{\mathrm{10}}\frac{{\partial }^{10}\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{10}}})\end{array}$

Cultura

Este fenomen es reconeix i coneix per la portada del disc The Dark Side of The Moon, de Pink Floyd. En este fenomen es va basar Storm Thorgerson, del colectiu de disseny gràfic Hipgnosis, per a la respectiva creació de la portada del disc.

Vore també

• Dispersió (física)
• Prisma (òptica)

Bibliografia

• (2004) «28», Física Conceptual, Novena edició, PEARSON EDUCACIÓ, pp. 544. ISBN 970-26-0447-8.