Distribució binomial de Poisson

En teoria de la provabilitat i estadística, la distribució binomial de Poisson és la distribució de provabilitat discreta del número d'èxits en una seqüència de n ensajos de Bernoulli independents. La seua denominació és en honor al físic i matemàtic francés Siméon Denis Poisson.

El resultat d'un ensaig és una variable aleatòria de distribució de Bernoulli -cada una en la seua respectiva provabilitat d'èxit $p_1,p_2,\dots ,p_n$. La variable aleatòria de distribució binomial de Poisson és la suma de les n variables aleatòries de distribució de Bernoulli.

La distribució binomial és un cas especial de la distribució binomial de Poisson, a on la provabilitat d'èxit és la mateixa en tots els ensajos, és dir $p_1=p_2=\cdots =p_n$.

Mija i la varianza

La mija i la varianza de la variable aleatòria de distribució binomial de Poisson és igual a la suma de les miges i les varianza de les n distribucions de Bernoulli respectivament:

$\mu =\sum _{i=1}^n{p}_i$

${\sigma }^2=\sum _{i=1}^n(1-p_i)p_i$

Per a un mateix valor de la mija ($\mu$) i tamany (n), la varianza és màxima quan totes les provabilitats d'èxit són iguals, lo que correspon a una distribució binomial. Quan n és suficientment gran i tots els valors de $p_i$són menuts, la distribució de Poisson és una bona aproximació de la distribució binomial de Poisson. La varianza de la distribució de Poisson establix el llímit superior de la varianza de la distribució binomial de Poisson quan n tendix a infinit i tenen mateixa la mija ($\mu$).

Funció de provabilitat

La provabilitat d'obtindre k èxits d'un total de n ensajos pot representar-se com la suma:

$\mathrm{Pr}(K=k)=\sum _{A\in F_k}\prod _{i\in A}{p}_i\prod _{j\in A^c}(1-p_j)$

a on $F_k$ és el conjunt de tots els subconjunts de k sancers que es poden seleccionar. Per eixemple, siga S = {1,2,3,...,n}, si n = 3 llavors $F_2=\{\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}\}$. $A$és un subconjunt de S i $A^c$és el complement de $A$ respecte de S.

$F_k$ conté $n!/((n-k)!k!)$elements en la sumatoria, la qual cosa llimita el càlcul de la funció en la pràctica inclús per a números d'ensajos n moderats (eixemple, si n=40, $F_{15}$conté més de 10¹⁰ elements). No obstant, hi ha atres maneres més eficients de calcular $\mathrm{Pr}(K=k)$.

Mentres cap de les provabilitats d'èxit siga igual a un, es pot calcular la provabilitat de k èxits usant la fòrmula recurrent

$\mathrm{Pr}(K=k)=\{\begin{array}{cc}\prod _{i=1}^n(1-p_i)& k=0\\ \frac{1}{k}\sum _{i=1}^k(-1{)}^{i-1}\mathrm{Pr}(K=k-i)T(i)& k>0\end{array}$

a on

$T(i)=\sum _{j=1}^n{\left(\frac{p_j}{1-p_j}\right)}^i.$

La fòrmula recurrent no és numèricament estable, i deu evitar-se si n és major que aproximadament 20. Una atra possibilitat és usar la transformada discreta de Fourier.

$\mathrm{Pr}(K=k)=\frac{1}{n+1}\sum _{l=0}^n{C}^{-lk}\prod _{m=1}^n(1+(C^l-1)p_m)$

a on $C=\exp \left(\frac{2i\pi }{n+1}\right)$ ; $i=\sqrt{-1}$.

Atres métodos es descriuen en