Distribució multinomial

En teoria de provabilitat, la distribució multinomial o distribució multinómica és una generalisació de la distribució binomial.

La distribució binomial és la provabilitat d'un número d'èxits en N successos de Bernoulli independents, en la mateixa provabilitat d'èxit en cada succés. En una distribució multinomial, l'anàlec a la distribució de Bernoulli és la distribució categòrica, a on cada succés conclou en únicament un resultat d'un número finito K dels possibles, en provabilitats $p_1,\dots ,p_k$ (tal que $p_i\ge 0$ per a i entre 1 i K i $\sum _{i=1}^k{p}_i=1$); i en n successos independents.

Llavors siga la variable aleatòria $X_i$, que indica el número de voltes que s'ha donat el resultat i sobre els n successos. El vector $X=(X_1,\mathrm{...},X_k)$ seguix una distribució multinomial en paràmetros n i p, a on $p=(p_1,\mathrm{...},p_k)$.

Note's que en alguns camps les distribucions categòrica i multinomial es troben unides, i és comuna parlar d'una distribució multinomial quan el terme més precís seria una distribució categòrica.

Especificació

Donat de 6 cares

Funció de provabilitat

La funció de provabilitat de la distribució multinomial és com seguix:

$\begin{array}{cc}f(x_1,\dots ,x_k;n,p_1,\dots ,p_k)& =\mathrm{Pr}(X_1=x_1\text{ y }\dots \text{ y }{X}_k=x_k)\\ \\ & =\{\begin{array}{cc}\frac{n!}{x_1!\cdots x_k!}{p}_1^{x_1}\cdots p_k^{x_k},& \text{cuando }\sum _{i=1}^k{x}_i=n\\ \\ 0& \text{En otros casos,}\end{array}\end{array}$

Per a sancers no negatius x₁, ..., x_k.

Propietats

l'esperança matemàtica del succés i observat en n proves és:

$\mathrm{E}(X_i)=n{p}_i.$

La varianza és:

$\mathrm{var}(X_i)=n{p}_i(1-p_i).$