Equació de Langevin

En física, la equació de Langevin (cridada aixina per Paul Langevin) és una equació diferencial estocàstica que descriu l'evolució temporal d'un subconjunt dels graus de llibertat. Estos graus de llibertat són típicament variables colectives (macroscòpiques) que canvien solament llentament en comparació a les atres variables (microscòpiques) del sistema. Les variables ràpides (microscòpiques) són responsables de la naturalea estocàstica de l'equació de Langevin.

Moviment browniano com a prototip

L'equació original de Langevin descriu el moviment browniano, el moviment aparentment aleatori d'una partícula en un decorregut per les colisions en les molècules del decorregut:

$m\frac{d^2𝐱}{d{t}^2}=-\lambda \frac{d𝐱}{dt}+𝜼\left(t\right).$

El grau de llibertat d'interés ací és la posició $𝐱$ de la partícula, $m$ denota la massa de la partícula. La força que actua sobre la partícula s'escriu com la suma d'una força viscosa proporcional a la velocitat de la partícula (llei de Stokes), i un terme de soroll $𝜼\left(t\right)$ el nom donat en contexts físics a térmens en equacions diferencials estocàstiques (processos estocàstics) que representen l'efecte de les colisions en les molècules del decorregut. La força $𝜼\left(t\right)$ té una distribució de provabilitat gaussiana en funció de correlació

$⟨{\eta }_i\left(t\right){\eta }_j\left(t^{\prime }\right)⟩=2\lambda k_{B}T{\delta }_{i,j}\delta (t-t^{\prime }),$

a on $k_B$és la constant de Boltzmann, $T$ és la temperatura i ${\eta }_i\left(t\right)$és el component i del vector $𝜼\left(t\right)$. La forma de la δ-funció corre de les correlació en el temps significa que se supon que la força en un moment $t$ no està correlacionada completament en ella en cap atre moment. Açò és una aproximació; la força aleatòria real té un temps de correlació distint de zero corresponent al temps de colisió de les molècules. No obstant, l'equació de Langevin s'usa per a descriure el moviment d'una partícula "macroscòpica" en una escala de temps molt més llarga, i en este llímit la correlació $\delta$i l'equació de Langevin es tornen exactes.

Una atra característica prototípica de l'equació de Langevin és l'ocurrència del coeficient de amortiguamiento $\lambda$ en la funció de correlació de la força aleatòria, un fet també conegut com relació d'Einstein.

Aspectes matemàtics

Una força fluctuante correlacionada $\delta$estrictament $𝜼\left(t\right)$ no és una funció en el sentit matemàtic habitual i inclús la derivada $d𝐱/dt$ no està definida en este llímit. L'equació de Langevin en la seua forma actual requerix una interpretació basada en l'Integral de Itō.