Equacions de Friedmann

Aleksandr Fridman

Les equacions de Friedmann són un conjunt d'equacions utilisades en cosmologia física que descriuen l'expansió mètrica de l'espai en models homogéneus i isótropo de l'univers dins del context de la teoria general de la relativitat. Varen ser trobades per Aleksandr Fridman en 1922^[1] a partir de les equacions de camp d'Einstein per a la mètrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker i un decorregut en una densitat de massa $ρ$ , $([ρ] = k g / m^{3})$ , i una pressió $p$ , $([p] = N / m^{2} = k g / (s^{2} m))$ , donades. Les equacions són:

$H^{2} \equiv {(\frac{\dot{a}}{a})}^{2} = \frac{8 π G ρ + Λ c^{2}}{3} - K \frac{c^{2}}{a^{2}}$

$3 \frac{\ddot{a}}{a} = Λ c^{2} - 4 π G (ρ + \frac{3 p}{c^{2}})$


Símbol	Nom
$Λ$	Constant cosmológica, possiblement causada per l'energia del buit
$G$	Constant de gravitació
$c$	Velocitat de la llum
$a$	Factor d'escala de l'univers
$K$	Curvatura gaussiana

Si la forma de l'univers és hiperesférica i $R$ és el radi de curvatura ( $R_{0}$ en el moment actual), llavors $a = R / R_{0}$ . Generalment, $\frac{K}{a^{2}}$ és la curvatura gaussiana. Si $K$ és positiva, llavors l'univers és hiperesférico. Si $K$ és zero, l'univers és pla, i si $K$ és negatiu, l'univers és hiperbòlic. Note's que $ρ$ i $p$ són funció de $a$ . El paràmetro de Hubble, $H$ , és un indicador de la velocitat d'expansió de l'univers.

Estes equacions a voltes se simplifiquen redefinint la densitat de massa i la pressió:

$ρ \to ρ - \frac{Λ c^{2}}{8 π G}$

$p \to p + \frac{Λ c^{4}}{8 π G}$

per a obtindre:

$H^{2} \equiv {(\frac{\dot{a}}{a})}^{2} = \frac{8 π G}{3} ρ - K \frac{c^{2}}{a^{2}}$

$3 \frac{\ddot{a}}{a} = - 4 π G (ρ + \frac{3 p}{c^{2}})$ .

El paràmetro de Hubble pot canviar en el temps si atres membres de l'equació són depenents del temps (en particular la densitat d'energia, l'energia del buit i la curvatura). Evaluant el paràmetro de Hubble en el moment actual produïx que la constant de Hubble que és la constant de proporcionalitat de la llei de Hubble. Aplicat a un decorregut en una equació d'estat donada, les equacions de Friedmann donen com resultat l'evolució en el temps i la geometria de l'univers com a funció de la densitat del decorregut.

Alguns cosmólogos criden a la segona d'estes dos equacions l'equació d'acceleració i es reserven el terme equació de Friedmann solament per a la primera equació.

El paràmetro de densitat

El paràmetro de densitat, Ω, es definix com la relació de la densitat actual (o observada) ρ respecte a la densitat crítica ρ_c de l'univers de Friedmann. Una expressió per a la densitat crítica es troba assumint que Λ és zero (com és per a tots els univers de Friedmann bàsics) i establint la curvatura K igual a zero. Quan se substituïxen estos paràmetros en la primera equació de Friedmann es troba que

$ρ_{c} = \frac{3 H^{2}}{8 π G}$

i s'obté que l'expressió per al paràmetro de densitat (útil per a comparar diferents models cosmológicos) és:

$Ω \equiv \frac{ρ}{ρ_{c}} = \frac{8 π G}{3 H^{2}} ρ$

Este terme originalment va ser utilisat com una manera de determinar la geometria del camp en el que ρ_c és la densitat crítica per a la que la geometria és plana. Assumint una densitat d'energia del buit nula, si Ω és major que un, la geometria és tancada i l'univers eventualment pararà la seua expansió i llavors es colapsarà. Si Ω és menor que un, serà obert i l'univers s'expandirà per a sempre. No obstant, també es poden sintetisar els térmens de curvatura i de l'energia del buit en una expressió més general para Ω en el cas de que este paràmetro de densitat d'energia siga exactemente igual a l'unitat. Llavors és una qüestió de medir els diferents components, normalment designats per subíndexs. D'acort en el modele Lambda-CDM, hi ha importants components de Ω per bariones, matèria obscura freda i energia obscura. La geometria del espai-temps va ser medida pel satèlit WMAP estant prop de ser una geometria plana, és dir, el paràmetro de curvatura K és aproximadament zero.

La primera equació de Friedmann a sovint s'escriu formalment en els parámeros de densitat:

$\frac{H^{2}}{H_{0}^{2}} = Ω_{R} a^{- 4} + Ω_{M} a^{- 3} + Ω_{Λ} - K c^{2} a^{- 2}$

a on

$Ω_{R}$ és la densitat de radiació actual,
$Ω_{M}$ és la densitat de matèria (obscura més la bariónica) actual, i
$Ω_{Λ}$ és la constant cosmológica o la densitat de buit actual.

Equació de Friedmann reescalada

Establint $a = \tilde{a} a_{0}, ρ_{c} = 3 H_{0}^{2} / 8 π G, ρ = ρ_{c} Ω, t = \tilde{t} / H_{0}, Ω_{c} = - K / H_{0}^{2} a_{0}^{2}$ a on $a_{0}$ i $H_{0}$ són per separat el factor d'escala i el paràmetro de Hubble actuals. Llavors es pot trobar que:

$\frac{1}{2} {(\frac{d \tilde{a}}{d \tilde{t}})}^{2} + U_{e f f} (\tilde{a}) = \frac{1}{2} Ω_{c}$

a on $U_{e f f} (\tilde{a}) = Ω {\tilde{a}}^{2} / 2$ . Per a qualsevol forma del potencial efectiu $U_{e f f} (\tilde{a})$ , hi ha una equació d'estat $p = p (ρ)$ que la produirà.

Referències

↑ Friedmann, A: Über die Krümmung dones Raumes, Z. Phys. 10 (1922), 377-386. (Traducció a l'anglés en ¡: Gen. Rel. Grav. 31 (1999), 1991-2000.)

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Ecuaciones de Friedmann» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Friedmann, A: Über die Krümmung dones Raumes, Z. Phys. 10 (1922), 377-386. (Traducció a l'anglés en ¡: Gen. Rel. Grav. 31 (1999), 1991-2000.)

[1]