Equilibri de Nash

El equilibri de Nash, equilibri de Cournot, equilibri de Cournot i Nash o equilibri de la por és, en la teoria de jocs, un «concepte de solució» per a jocs en dos o més jugadors, el qual assumix que:

• Cada jugador coneix i ha adoptat el seu millor estratègia, i
• Tots coneixen les estratègies dels atres.

Conseqüentment, cada jugador individual no guanya res modificant la seua estratègia mentres els atres mantinguen les seues. Aixina, cada jugador està eixecutant el millor «moviment» possible tenint en conte els moviments dels demés jugadors.

En atres paraules, un equilibri de Nash és una situació en la qual tots els jugadors han posat en pràctica, i saben que ho han fet, una estratègia que maximizar els seus guanys donats les estratègies dels atres. Conseqüentment, cap jugador té cap incentiu per a modificar individualment la seua estratègia.

És important tindre present que un equilibri de Nash no implica que es conseguixca el millor resultat conjunt per als participants, sino solament el millor resultat per a cada u d'ells considerats individualment. És perfectament possible que el resultat fora millor per a tots si, d'alguna manera, els jugadors coordinaren la seua acció.

En térmens econòmics, és un tipo d'equilibri de competència imperfecta que descriu la situació de vàries empreses competint pel mercat d'un mateix ben i que poden elegir quànt produir per a intentar maximizar el seu guany.

Michele Crescenzi (2025) definix un Equilibri de Nash de Forma Axiomàtica (basat en les preferències) per mig dels següents axioma: Independència d'estratègies irrellevants (IIS). [Consistència en la Contracció] Fusionant consistència (MC). [Consistència en l'Expansió]

• Invariancia a estratègies estrictament dominades (ISDS). [Racionalitat Bàsica]
• Optimalidad conjunta (JO). [Neteja d'opcions]

Eixemple

Potser el millor eixemple d'un equilibri de Nash és la variació del conegut «dilema del presoner» modificat a fi de resaltar els efectes descrits. En esta versió hi ha varis jugadors (més de tres). El resultat seria millor per a tots si tots cooperaren entre ells i no declararen, pero, ya que cada cual perseguix el seu propi interés, i cap pot confiar que ningú declararà, tots deuen adoptar l'estratègia de declarar, lo que termina en una situació (equilibri) en la qual cada u minimisa la seua possible pèrdua.

Modificacions adicionals permeten repetir el joc de forma indefinida (per eixemple, en els jugadors repartint un «botí», etc.). En totes eixes situacions resulta que l'estratègia de no cooperar és la que minimisa el risc de pèrdues i otorga un guany mig pero segura per a cada jugador individual, encara que la cooperació maximizar el guany tant a nivell individual com de grup.

Història

El concepte d'equilibri de Nash comença el seu desenroll en Antoine Augustin Cournot i el seu treball sobre oligopolis (1838). En este es planteja el model de vàries empreses que competixen pel mercat d'un mateix ben i que poden elegir quànt produir per a intentar maximizar el seu guany en funció de la producció de les atres. S'establix un equilibri de Cournot quan la producció de cada empresa maximizar els seus beneficis, donada la producció de les atres empreses, lo que és una situació d'estratègia pura en l'equilibri de Nash.

Els equilibris de Nash en estratègies pures són llimitats en molts aspectes i va anar en el desenroll de la teoria moderna de jocs que sorgixen els equilibris en estratègies mixtes (aquelles en les que els jugadors poden elegir aleatoriamente entre vàries estratègies). El concepte d'equilibri per a este tipo d'estratègies va ser introduït per John von Neumann i Oskar Morgenstern en el seu llibre Theory of Games and Economic Behavior (1944), encara que solament varen tractar els equilibris per al cas especial de jocs de suma zero.

Va ser John Forbes Nash qui, en la seua tesis doctoral, Jocs no cooperatius (Senar-Cooperative games), presentada en 1950 i publicada en 1951, definix els equilibris que hui duen el seu nom, tractant de manera general les estratègies mixtes i demostrant que qualsevol joc en un número finito d'estratègies té a lo manco un equilibri de Nash en estratègies mixtes. Nash guanyaria posteriorment un premi Nobel per l'àmplia gama d'aplicacions que va tindre este concepte en diverses branques de les ciències.

Posteriorment es varen trobar alguns casos en els que els equilibris de Nash no duyen a prediccions totalment adequades per als comportaments dels jugadors, o no fan una predicció única, o comportaments estables que no es podien trobar com a equilibris de Nash, lo que va donar pas a la busca i desenroll de nous equilibris (moltes voltes com a refinament dels equilibris de Nash) i conceptes de solució d'un joc.

Vore també

• Teoria de jocs
• Estratègia mixta
• Estratègia pura
• Paradoxa de Braess
• Principis de Wardrop

Bibliografia

• H.S. Bierman, L. Fernández, «Game Theory with Economic Applications», Addison-Wesley, 1993.
• K. Binmore, «Teoria de Jocs», McGraw-Hill, 1994.
• R. Gibbons, «Un Primer Curs de Teoria de Jocs», Antoni Bosch, 1996.
• Oskar Morgenstern i John von Neumann, «Theory of Games and Economic Behavior» Princeton University Press, 1947.
• Zapata L. Coloma, «Economia, Política i Atres Jocs: Una Introducció als Jocs No Cooperatius», les prenses de ciències, 2007.