Estadístic mostral

En estadística un estadístic (mostral) o Estadígrafo és una medida quantitativa, derivada d'un conjunt de senyes d'una mostra, en l'objectiu d'estimar o inferir característiques d'una població o model estadístic.

Més formalment un estadístic és una funció mesurable T que, donada una mostra estadística de variables aleatòries $(X_1,X_2,\mathrm{...},X_n)$, els assigna un número, $T(X_1,X_2,\mathrm{...},X_n)$, que servix per a estimar determinat paràmetro de la distribució de la que procedix la mostra. Aixina, per eixemple, la mija dels valors d'una mostra (mija mostral) servix per a estimar la mija de la població de la que s'ha extret la mateixa; la varianza mostral podria usar-se per a estimar la varianza poblacional, etc. Açò es denomina com realisar una estimació puntual.

Eixemples

Mija mostral

Artícul principal → Mija mostral.

Si es té una mostra estadística de valors $(X_1,X_2,\mathrm{...},X_n)$ per a una variable aleatòria X en distribució de provabilitat F(x,θ) (a on θ és un conjunt de paràmetros de la distribució) es definix la mija mostral n-ésima com:

${\overline{X}}_n=T(X_1,X_2,\mathrm{...},X_n)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i=\frac{X_1+X_2+\mathrm{...}+X_n}{n}$

Varianza mostral

De forma anàloga a la mija mostral i utilisant els mateixos elements que en la mateixa, la definició d'varianza mostral és la següent:

$S_n^2=T((X_1-{\overline{X}}_n{)}^2,(X_2-{\overline{X}}_n{)}^2,\mathrm{...},(X_n-{\overline{X}}_n{)}^2)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X_n}{)}^2$

Cuasi-varianza mostral

I la cuasi-varianza, que oferix un estadístic menys biaixat que la varianza, és:

$S_{n-1}^2=T((X_1-{\overline{X}}_n{)}^2,(X_2-{\overline{X}}_n{)}^2,\mathrm{...},(X_n-{\overline{X}}_n{)}^2)=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X_n}{)}^2$

Moments mostrals

En les mateixes notacions usades a la mija i varianza mostral es definix l'estadístic moment mostral no centrat com:

$m_k=M_k(X_1,X_2,\mathrm{...},X_n)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^k$

Note's que m₁ és precisament la mija mostral. Análogamente es definix l'estadístic moment mostral centrat com:

$a_k=M_k^c(X_1,X_2,\mathrm{...},X_n)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-{\overline{X}}_n{)}^k$

que guarda les següents relacions en estadístics prèviament definits:

$a_1=0a_2=m_2-m_1^2=\frac{n-1}{n}{S}_n^2$

Propietats

Suficiència

El concepte de estadístic suficient va ser introduït per Fisher en 1922, i com originalment va indicar, un estadístic és suficient per als objectius de l'inferència estadística si conté, en cert sentit, tota la «informació» sobre la funció de distribució a partir de la qual s'ha generat la mostra.

Formalment si $X_1,X_2,\mathrm{...},X_n$ és una mostra d'una variable aleatòria $X$ que la seua distribució de provabilitat pertany a una família de distribucions donades per un vector paramètric $ℱ=\{F_{\theta }|\theta \in \Theta \}$, llavors es diu que un cert estadístic $T=T(X_1,X_2,\mathrm{...},X_n)$ és suficient para θ o per a la família si i solament si, la distribució condicionada de $X_1,X_2,\mathrm{...},X_n|T$ no depén de $\Theta$.

Vore també

• Paràmetro estadístic

Referències

• 'Introducció a l'Estadística Econòmica i Empresarial. Teoria i Pràctica.' de Fco. Javier Martín-Plegue López, Editorial Thomson, 2007 (Madrit).

• 'Manual d'Estadística Empresarial en eixercicis resolts' d'Eva Ropero, María Eleftheriou, Luana Gava i Eva Romero. Editorial Delta Publicacions. 2008 (Madrit).