Event aleatori

En la teoria de la provabilitat, un event aleatori o font de successos aleatori és un subconjunt d'un espai mostral, és dir, un conjunt de possibles resultats que es poden donar en un possible pero molt lluntà experiment aleatori. En la teoria de la provabilitat a cada event aleatori se li pot assignar una mida de provabilitat, i el conjunt de tots els successos aleatoris constituïx una σ-àlgebra de conjunts.

Formalment, siga $\tilde{\Omega }=(\Omega ,𝒜,\mu )$ un espais provabilístic, llavors un event és un subconjunt $A:=\{w_1,w_2,\mathrm{...}\}\subseteq \Omega$, a on $(w_1,w_2,\mathrm{...})$ són una série de possibles resultats. En el cas d'espais provabilístics infinits existix el requeriment de que un subconjunt $A\subset \Omega$ és un event aleatori solament si $A\in 𝒜$, és dir, que es tracte d'un subconjunt que específicament pertanyga a la σ-àlgebra usada per a definir l'espai mostral

Un eixemple senzill

Si es considera una baralla de naïps anglesos sense comodins, i es pren una sola carta del mall de cartes, llavors l'espai mostral està format per un conjunt de 52 events elementals, ya que en l'experiment aleatori d'extraure una carta existixen 52 possibilitats diferents. Un event, no obstant, és qualsevol subconjunt d'este espai mostral, no solament els conjunts unitaris (events elementals), sino també l'event impossible i el conjunt total o event cert. Atres events no trivials són els subconjunts propis, entre els quals estan per eixemple, events potencials com:

Un Diagrama de Venn d'un event. B és l'espai mostral i A és un event (potencial o impossible).
Usualment la relació d'àrees, pot usar-se com una provabilitat de A.

• "Ix una carta roja i negra al mateix temps" (0 elements, event impossible).
• "Ix el 5 de cors" (1 element).
• "Ix una carta de rei" (4 elements).
• "Ix una carta en figura" (12 elements).
• "Ix una carta d'espases" (13 elements).
• "Ix una carta en figures o una carta roja" (32 elements).
• "Ix una carta" (52 elements).

ya que tots estos events es poden representar com a conjunts, i són representables en un diagrama de Venn. Ya que cada event elemental en l'espai mostral Ω és igualment provable, la provabilitat $P$ d'un event A ve donada per

Esta regla pot aplicar-se fàcilment a tots els events mencionats anteriorment.

Tipos d'events

Event o succés elemental

Un succés o event simple és un subconjunt de l'espai mostral format per un únic element. Eixemples d'espais mostrals i successos elementals:

• Si es tracta de contar objectes i l'espai mostral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} (els número natural), llavors els successos elementals són cada u dels conjunts {k}, a on k ∈
• Si es llança una moneda dos voltes, S = {cc, cs, sc, ss}, a on (c representa "ix cara" i s, "ix creu"), els successos elementals són {cc}, {cs}, {sc} i {ss}.
• Si X és una variable aleatòria normalment distribuïda, S = (-∞, +∞), els número real, els successos elementals són tots els conjunts {x}, a on x ∈ $ℝ$.

Els successos elementals poden tindre provabilitats que són estrictament majors que zero, no definides o qualsevol combinació d'estes:

• Per eixemple, la provabilitat de qualsevol variable aleatòria discreta està determinada per les provabilitats assignades als successos elementals de l'experiment que determina la variable.
• Per una atra part, qualsevol succés elemental té provabilitat zero en qualsevol variable aleatòria absolutament contínua.
• Finalment, existixen distribucions mixtes que no són completament contínues, ni completament discretes.

Successos disjuntos

Dos successos disjuntos o events excloents són dos possibles events aleatoris d'un espai de provabilitat que no poden produir-se simultàneament. Sean dos events A i B, si abdós són conjunts disjuntos, llavors ells són events excloents.

En térmens de la teoria axiomàtica de Kolmogórov, dos successos són successos disjuntos o incompatibles si no tenen cap element en comú, per tant la seua intersecció és buida. Una colecció de més de dos successos es diu disjunta dos a dos, si qualsevol parell de conjunts de la colecció són disjuntos.

Segons açò, si tenim n successos que no posseïxen cap element en comú els expressem com conjuntament disjuntos. Pel contrari, si tenim una successió de n successos tal com S1......Sn els successos són disjuntos dos a dos sempre que l'intersecció entre S_i i S_j siga igual al succés buit per a tot i i tot j.

Note's que dos successos disjuntos S₁ i S₂ de provabilitat no nula no poden ser independents ya que:

mentres que l'independència requeriria que:

Atres successos

• Un event compost és un conjunt $\{w_1,\mathrm{...},w_n\}\subseteq \Omega$.
• Els events trivials són el conjunt universal Ω i el conjunt buit. Al primer se li crida també event segur o cert, i al segon, event impossible.
• Un event en elements infinits pero numerables es diu σ-àlgebra (sigma-àlgebra), i un event en elements finitos es diu àlgebra de successos de Boole.

Referències

Bibliografia

• P. Ibarrola, L. Pardo i V. Quesada (1997): Teoria de la Provabilitat, Ed. Síntesis, ISBN 84-7738-516-5.
• Spiegel, Murray. 1970. Estadística, McGraw-Hill, Mèxic.
• Olav Kallenberg, Probabilistic Symmetries and Invariance Principles. Springer-Verlag, New York (2005). 510 pp. ISBN 0-387-25115-4
• Kallenberg, O., Foundations of Modern Probability, 2nd ed. Springer Séries in Statistics. (2002). 650 pp. ISBN 0-387-95313-2
• Rafael Díaz. Introducció a la Provabilitat, els Processos Estocàstics i l'Estadística en Ingenieria. Escola d'Ingenieria Elèctrica. Universitat Central de Veneçola. 2000.