Exponent de Hurst

El exponent de Hurst s'utilisa com a mida de dependència de llarc alcanç dins d'una série temporal. Es relaciona en l'autocorrelación de les séries temporals, i la velocitat a la que estes disminuïxen a mida que aumenta el desfasament entre parells de valors.

El concepte es va usar inicialment en hidrologia per a la pràctica de determinar el tamany òptim de l'assut per a les condicions volàtils de pluja i sequia del ric Nilo que s'havien observat durant un llarc periodo de temps. El nom "exponent de Hurst", o "coeficient de Hurst", deriva d'Harold Edwin Hurst (1880–1978), que va anar l'investigador principal en eixos estudis. L'us de la notació estàndar H per al coeficient també es referix al seu nom.

En geometria fractal, el exponent de Hurst generalisat designat també com a H o H_q en honor a Harold Edwin Hurst i Ludwig Otto Hölder (1859–1937) per Benoît Mandelbrot (1924–2010). H està directament relacionat en dimensió fractal, D, i és una mida d'una aleatorietat "lleu" o "salvage" d'una série de senyes.

L'exponent de Hurst es coneix com el "índex de dependència" o "índex de dependència de llarc alcanç". Quantifica la tendència relativa d'una série temporal a retrocedir fortament a la mija o a agrupar-se en una direcció. Un valor H en el ranc 0.5–1 indica una série temporal en autocorrelación positiva a llarc determini, lo que significa que un valor alt en la série provablement serà seguit per un atre valor alt i que els valors en el futur també tendiran a ser alts. Un valor en el ranc 0 – 0.5 indica una série temporal en conmutación a llarc determini entre valors alts i baixos en parells adjacents, lo que significa que un sol valor alt provablement serà seguit per un valor baix i que el valor despuix d'això tendirà a ser alt, en esta tendència a canviar entre valors alts i baixos que duraran molt temps en el futur. Un valor de H=0.5 pot indicar una série completament no correlacionada, pero de fet, és el valor aplicable a séries per a les que les autocorrelaciones en menuts retarts poden ser positives o negatives pero a on els valors absoluts de les autocorrelaciones decauen exponencialment ràpidament a zero.

Definició

L'exponent de Hurst, H, es definix en térmens del comportament asintòtic del ranc reescalado en funció del lapsus de temps d'una série temporal de la següent manera;

$𝔼\left[\frac{R(n)}{S(n)}\right]=C{n}^H\text{ as }n\to \mathrm{\infty },$

a on:

$R(n)$ és el ranc del primer $n$ desviacions acumulatives de la mija

$S(n)$ és la série (suma) de les primeres n desviacions estàndar

$𝔼\left[x\right]$ és el valor esperat

$n$ és el lapsus de temps de l'observació (número de punts de senyes en una série temporal)

$C$ és una constant.

Relació en la dimensió fractal

Per a séries temporals autosimilares, H està directament relacionat en dimensió fractal, D, a on 1 < D < 2, tal que D = 2 - H. Els valors de l'exponent de Hurst varien entre 0 i 1, en valors més alts que indiquen una tendència més suau, menys volatilitat i menys rugosidad Per a séries temporals més generals o processos multidimensionales, l'exponent de Hurst i la dimensió fractal es pot elegir de forma independent, ya que l'exponent de Hurst representa l'estructura sobre períododos asintóticamente més llarcs, mentres que la dimensió fractal represent l'estructura sobre periodos asintóticamente més curts.