Extensió (òptica)

Conservació de l'extensió d'un sistema òptic

En un sistema òptic, la extensió (terme procedent de la paraula francesa étendue) és un paràmetro que caracterisa cóm varia l'amplitut de la difusió d'un fes de llum, d'acort en l'àngul comprés o la superfície allumenada. Es correspon en el producte paramètric d'un fes en òptica gaussiana.

Des del punt de vista de la font, és el resultat de multiplicar l'àrea de la font pel àngul sòlit que la pupila d'entrada subtiende del sistema que es divisa des de la font. De manera equivalent, des del punt de vista del sistema, l'extensió és igual a l'àrea de la pupila d'entrada multiplicada per l'àngul sòlit que la font subtiende segons es veu des de la pupila. Estes definicions es deuen aplicar a elements infinitesimalment menuts d'àrea i àngul sòlit, que després es deuen sumar tant en la font com en el diafragma, com es mostra a continuació. En térmens físics, l'extensió pot considerar-se com la variació del volum comprés per un fes de llum en l'espai.

És un concepte important, perque mai disminuïx en cap sistema òptic en el que es conserve la potència òptica. Un sistema òptic perfecte produïx una image a partir d'una font original idèntica a la pròpia font. L'extensió està relacionada en l'invariante de Lagrange i en l'invariante òptic, que compartixen la propietat de ser constants en un sistema òptic ideal. La radiancia espectral d'un sistema òptic és igual a la derivada del fluix radiant sobre l'extensió.

El terme prové del francés "étendue géométrique", que significa "extensió geomètrica". Atres denominacions per a esta propietat són aceptancia, rendiment, comprensió lumínica, recolecció de llum o poder de captació, extensió òptica, extensió geomètrica i producte AΩ. Els térmens rendiment i producte AΩ s'usen especialment en radiometria i en la transferència radiant, en a on estan relacionats en el factor visual (o factor de forma). És un concepte central en l'òptica sense image.

Definició

Extensió per a un element de superfície diferencial en 2D (esquerra) i en 3D (dreta).

Un element de superfície infinitesimal, dS, en la seua normal n_S està immers en un mig d'índex de refracció n. La superfície és travessada per (o emet) llum confinada en un àngul sòlit, dΩ, en un àngul θ sobre la normal n_S. L'àrea de dS proyectada en la direcció de la propagació de la llum és Plantilla:Nobreak. L'extensió d'este creuament de llum dS es definix com

$\mathrm{d}G=n^2\mathrm{d}S\cos \theta \mathrm{d}\Omega .$

Com els ànguls, els ànguls sòlits i els índexs de refracció són magnituts adimensionales, l'extensió té unitats d'àrea (donades per dS).

Conservació de l'extensió

Com es mostra a continuació, l'extensió es conserva quan la llum viaja a través de l'espai lliure i en refracció o reflexos. També es conserva a mida que la llum viaja a través de sistemes òptics a on experimenta reflexions o refracció perfectes. No obstant, si la llum aplega a incidir en un material difusor, el seu àngul sòlit aumentaria, lo que aumentaria la seua extensió. L'extensió pot permanéixer constant o pot aumentar a mida que la llum es propaga a través d'una òptica, pero no pot disminuir. Est és un resultat directe de l'aument d'entropía, que solament pot revertir-se si s'utilisa un coneiximent a priori per a reconstruir un front d'ona de fase coincidente, com en l'òptica no llineal.

La conservació de l'extensió es pot derivar en diferents contexts, com els principis òptics fonamentals de l'òptica hamiltoniana o del segon principi de la termodinàmica.

En l'espai lliure

Extensió en l'espai lliure.

Considere's una font de llum Σ, i un detector de llum S, que són superfícies discretes (en lloc d'elements diferencials) i que estan separats per un mig d'índex de refracció n que és perfectament transparent. Per a calcular l'extensió del sistema, es deu considerar la contribució de cada punt en la superfície de la font de llum a mida que s'emeten rajos a cada punt del receptor.

D'acort en la definició anterior, l'extensió del creuament de llum dΣ cap a dS ve donada per:

$\mathrm{d}{G}_{\Sigma }=n^2\mathrm{d}\Sigma \cos {\theta }_{\Sigma }\mathrm{d}{\Omega }_{\Sigma }=n^2\mathrm{d}\Sigma \cos {\theta }_{\Sigma }\frac{\mathrm{d}S\cos {\theta }_S}{d^2}$

a on dΩ_Σ és l'àngul sòlit definit per l'àrea dS en l'àrea dΣ. De la mateixa manera, l'extensió del fes de llum dS que prové de dΣ ve donada per:

$\mathrm{d}{G}_S=n^2\mathrm{d}S\cos {\theta }_S\mathrm{d}{\Omega }_S=n^2\mathrm{d}S\cos {\theta }_S\frac{\mathrm{d}\Sigma \cos {\theta }_{\Sigma }}{d^2},$

a on dΩ_S és l'àngul sòlit definit per l'àrea dΣ. Estes expressions resulten en

$\mathrm{d}{G}_{\Sigma }=\mathrm{d}{G}_S,$

demostrant que l'extensió es conserva a mida que la llum es propaga en l'espai lliure.

L'extensió de tot el sistema és llavors:

$G=\underset{\Sigma }{\int }\underset{S}{\int }\mathrm{d}G.$

Si abdós superfícies dΣ i dS estan immerses en l'aire (o en el buit), Plantilla:Nobreak, l'expressió anterior per a l'extensió poden escriure's com

$\mathrm{d}G=\mathrm{d}\Sigma \cos {\theta }_{\Sigma }\frac{\mathrm{d}S\cos {\theta }_S}{d^2}=\pi \mathrm{d}\Sigma \left(\frac{\cos {\theta }_{\Sigma }\cos {\theta }_S}{\pi d^2}\mathrm{d}S\right)=\pi \mathrm{d}\Sigma F_{\mathrm{d}\Sigma \to \mathrm{d}S},$

a on F_dΣ→dS és el factor visual entre les superfícies diferencials dΣ i dS. L'integració en dΣ i dS dona com resultat G = πΣ F_Σ→S, lo que permet obtindre l'extensió entre dos superfícies a partir dels factors visuals entre eixes superfícies en distintes taules, de la mateixa manera que es detalla en llibres de text sobre la transferència de calor.

La conservació de l'extensió en l'espai lliure està relacionada en el teorema de reciprocitat de factors visuals.

En refracció i reflexions

Extensió en la refracció

La conservació de l'extensió discutida anteriorment s'aplica al cas de la propagació de la llum en l'espai lliure, o més generalment, en un mig en el que l'índex de refracció és constant. No obstant, també es conserva en refracció i reflexions. La figura de la "extensió en la refracció" mostra una superfície infinitesimal dS en el pla xy que separa dos mijos d'índexs de refracció n_Σ i n_S.

La normal a dS apunta en la direcció de l'eix z. La llum entrante es llimita a un àngul sòlit dΩ_Σ i aplega a dS en un àngul θ_Σ respecte a la normal. La llum refractada està confinada en un àngul sòlit de dΩ_S i ix de dS en un àngul θ_S respecte a la normal. Les direccions de la llum entrante i refractada estan contingudes en un pla que forma un àngul φ en l'eix x, que definix estes direccions en coordenades esfèriques. En estes definicions, la Llei de Snell de la refracció es pot escriure com

$n_{\Sigma }\sin {\theta }_{\Sigma }=n_S\sin {\theta }_S,$

i la seua deducció relativa a θ

$n_{\Sigma }\cos {\theta }_{\Sigma }\mathrm{d}{\theta }_{\Sigma }=n_S\cos {\theta }_S\mathrm{d}{\theta }_S,$

multiplicat per l'atre resultat en

$n_{\Sigma }^2\cos {\theta }_{\Sigma }(\sin {\theta }_{\Sigma }\mathrm{d}{\theta }_{\Sigma }\mathrm{d}\phi )=n_S^2\cos {\theta }_S(\sin {\theta }_S\mathrm{d}{\theta }_S\mathrm{d}\phi ),$

a on abdós costats de l'equació també es varen multiplicar per dφ, lo que no canvia en la refracció. Esta expressió ara es pot escriure com

$n_{\Sigma }^2\cos {\theta }_{\Sigma }\mathrm{d}{\Omega }_{\Sigma }=n_S^2\cos {\theta }_S\mathrm{d}{\Omega }_S,$

i multiplicant abdós costats per dS s'obté

$n_{\Sigma }^2\mathrm{d}S\cos {\theta }_{\Sigma }\mathrm{d}{\Omega }_{\Sigma }=n_S^2\mathrm{d}S\cos {\theta }_S\mathrm{d}{\Omega }_S$

és dir

$\mathrm{d}{G}_{\Sigma }=\mathrm{d}{G}_S,$

mostrant que l'extensió de la llum refractada en dS es conserva. El mateix resultat també és vàlit per al cas d'una reflexió en una superfície dS, en el cas de la qual Plantilla:Nobreak i θ_Σ =θ_S.