Índex de refracció

Refracció de la llum en l'interfaç entre dos mijos en diferents índexs de refracció (n₂ > n₁). Com la velocitat de fase és menor en el segon mig (v₂ < v₁), l'àngul de refracció θ₂ és menor que l'àngul d'incidència θ₁; açò és, el raig en el mig d'índex major és propenc al vector normal

Fronts d'ona d'una font puntual en el context de la llei de Snell. La regió baix de la llínea grisa té un índex de refracció major i velocitat d'ona proporcionalment menor que la regió damunt de la llínea

Es denomina índex de refracció al cocient de la velocitat de la llum en el buit i la velocitat de la llum en el mig l'índex del qual es calcula.^[1] Se simbolisa en la lletra $n$ i es tracta d'un valor adimensional.

$n = \frac{c}{v}$
Símbol	Nom
$n$	Índex de refracció del mig
$c$	Velocitat de la llum en el buit
$v$	Velocitat de la llum en el mig l'índex del qual es calcula (aigua, vidre, etc.)

L'índex de refracció d'un mig és una mida que indica quànt es reduïx la velocitat de la llum (o d'atres ones tals com a ones acústiques) dins del mig.

L'índex de refracció determina quànt es desvia (refracta) la trayectòria de la llum en entrar en un material. Açò es descriu per mig de la llei de refracció de Snell, n₁ senseθ₁ = n₂ senseθ₂, a on θ₁ i θ₂ són els ànguls d'incidència i refracció, respectivament, d'un raig que creua l'interfaç entre dos mijos en índexs de refracció n₁ i n₂. Els índexs de refracció també determinen la cantitat de llum que es reflectix en aplegar a la interfase, aixina com l'àngul crític per a la reflexió interna total, la seua intensitat (equacions de Fresnel) i el àngul de Brewster.^[2]

L'índex de refracció pot vore's com el factor pel qual la velocitat i la llongitut d'ona de la radiació es reduïxen sobre els seus valors de buit: la velocitat de la llum en un mig és v = c/n, i de manera similar la llongitut d'ona en eixe mig és λ = λ₀/n, a on λ₀ és la llongitut d'ona d'eixa llum en el buit. Açò implica que el buit té un índex de refracció d'1 i que la freqüència (f = v/λ) de l'ona no es veu afectada per l'índex de refracció. Com a resultat, el color percebut per l'ull humà de la llum refractada, que depén de la freqüència, no es veu afectat per la refracció o l'índex de refracció del mig.

L'índex de refracció varia en la llongitut d'ona. Açò fa que la llum blanca es dividixca en colors constituents quan es refracta. Açò es diu dispersió. Este efecte es pot observar en prismes i arcoíris , i com a aberració cromàtica en lents. La propagació de la llum en els materials absorbents es pot descriure utilisant un índex de refracció de valor complex.^[3] La part imaginària maneja l'atenuació, mentres que la part real explica la refracció. Per a la majoria dels materials, l'índex de refracció canvia en la llongitut d'ona en varis percentages a lo llarc de l'espectre visible. No obstant, els índexs de refracció dels materials es notifiquen comunament utilisant un valor únic per a n, que normalment es medix a 633 nm.

El concepte d'índex de refracció s'aplica dins de l'espectre electromagnètic complet, des dels rajos X fins a les ones de radi. També es pot aplicar a fenomens ondulatorios com el sò. En este cas, s'utilisa la velocitat del sò en lloc de la de la llum, i es deu elegir un mig de referència diferent al buit.^[4]

En térmens de anteojos, una lent en un alt índex de refracció serà més llaugera i tindrà vores més primes que la seua contraparte convencional d'índex "baix". Estos lents són generalment més cars de fabricar que els convencionals.

Definició física

L'índex de refracció (n) està definit com el cocient de la velocitat (c) sobre la velocitat de fase (v_p) d'un fenomen ondulatorio com llum o sò en un mig de referència:

$n = \frac{c}{v_{p}}$
Símbol	Nom
$n$	índex de refracció del mig
$c$	Velocitat de la llum en el buit
$v_{p}$	Velocitat de fase

Generalment s'utilisa la velocitat de la llum en el buit (c) com a mig de referència per a qualsevol matèria, encara que durant l'història s'han utilisat atres referències, com la velocitat de la llum en el aire. En el cas de la llum, és igual a:

$n = \sqrt{ϵ_{r} μ_{r}}$
Símbol	Nom
$n$	índex de refracció del mig
$ϵ_{r}$	Permitividad relativa del material
$μ_{r}$	Permeabilidad electromagnètica relativa

Per a la majoria dels materials, μ_r és molt propenc a 1 en freqüències òptiques, és dir, llum visible, per lo tant, n és aproximadament $\sqrt{ϵ_{r}}$ .

Índex de refracció complex

En molts materials reals la llum no solament canvia de velocitat i de direcció a l'entrar en el mig, sino que també es va debilitant en alvançar. Per a descriure al mateix temps estos dos efectes (refracció i absorció) s'introduïx el índex de refracció complex, que s'escriu com

\tilde{n} = n + i κ

,

a on n és la part real de l'índex de refracció i $κ$ és la part imaginària, cridada a sovint coeficient d'extinció. La part real controla la velocitat de fase i la direcció de propagació de l'ona electromagnètica, mentres que la part imaginària quantifica la pèrdua d'intensitat deguda a absorció en el material.^[5] En molts texts anglosaxons s'usa la notació $\tilde{n} = n + i k$ , en k en lloc de $κ$ .

Quan una ona plana monocromàtica de llongitut d'ona en el buit $λ_{0}$ es propaga en un mig en índex complex, el vector d'ona també és complex i pot escriure's com

\tilde{k} = \frac{2 π}{λ_{0}} \tilde{n} = \frac{2 π}{λ_{0}} (n + i κ) .

El camp elèctric adopta llavors la forma

E (z, t) = E_{0} e^{i (ω t - \tilde{k} z)} = E_{0} e^{- \frac{2 π κ}{λ_{0}} z} e^{i (ω t - \frac{2 π n}{λ_{0}} z)} .

La primera exponencial mostra que l'amplitut decreix com $e^{- (2 π κ / λ_{0}) z}$ , mentres que la segona descriu l'oscilació de l'ona. En atres paraules, n fixa la llongitut d'ona i la fase dins del material, i $κ$ determina lo “ràpit” que la llum s'atenua en propagar-se.^[6]

En un mig llineal, homogéneu i isótropo, les propietats òptiques vénen determinades per la permitividad elèctrica complexa $\tilde{ε}$ i la permeabilidad magnètica complexa $\tilde{μ}$ . L'índex de refracció complex es relaciona en estes magnituts per mig de

{\tilde{n}}^{2} = {\tilde{ε}}_{r} {\tilde{μ}}_{r}

,

a on ${\tilde{ε}}_{r} = \tilde{ε} / ε_{0}$ i ${\tilde{μ}}_{r} = \tilde{μ} / μ_{0}$ són la permitividad i permeabilidad relatives. Per a la majoria de materials òptics no magnètics en el ranc de freqüències visible i propenca es complix ${\tilde{μ}}_{r} \approx 1$ , per lo que sol escriure's simplement

{\tilde{n}}^{2} \approx {\tilde{ε}}_{r} .

És dir, conéixer cóm respon el material a un camp elèctric (el seu permitividad) basta, en la pràctica, per a conéixer el seu índex de refracció complex.

Si es descompon la permitividad relativa en part real i imaginària,

{\tilde{ε}}_{r} = ε_{1} + i ε_{2}

,

les equacions anteriors conduïxen a les relacions

n^{2} - κ^{2} = ε_{1}, 2 n κ = ε_{2} .

D'esta manera, la part real de la permitividad descriu fonamentalment cóm s'almagasena energia elèctrica en el mig, mentres que la part imaginària està associada a les pèrdues disipativas (calfament, relaixació, etc.). Abdós components, i per tant n i $κ$ , depenen de la freqüència de la radiació i estan lligades entre sí per mig de les relacions de Kramers–Kronig, que expressen matemàticament el víncul entre dispersió (variació de n en la freqüència) i absorció (variació de $κ$ ).^[6]^[7]

En molts models microscòpics, com el model d'osciladors de Lorentz per a dielèctrics o el model de Drude para metalés, la permitividad complexa s'expressa com a funció explícita de la freqüència. Per eixemple, en el model de Drude la permitividad relativa d'un metal ve donada per

{\tilde{ε}}_{r} (ω) = 1 - \frac{ω_{p}^{2}}{ω (ω + i γ)},

a on $ω_{p}$ és la freqüència de plasma i $γ$ un paràmetro de amortiguamiento. A partir d'esta expressió pot obtindre's l'índex de refracció complex i, per tant, predir cóm canvien la reflectancia i la transmitancia del metal en la llongitut d'ona.^[8] Un valor gran de $κ$ en el visible explica que molts metals siguen molt reflectantes i a penes deixen passar la llum.

La presència d'un índex de refracció complex implica que l'amplitut del camp elèctric disminuïx exponencialment en propagar-se. Per a una ona plana monocromàtica que penetra en un mig en índex $\tilde{n}$ , l'intensitat despuix de recórrer una distància z ve donada per la llei de Beer-Lambert:

I (z) = I_{0} e^{- α z}

,

a on $I_{0}$ és l'intensitat inicial i $α$ és el coeficient d'absorció. A partir de les solucions de les equacions de Maxwell s'obté la relació

α = \frac{4 π κ}{λ_{0}},

sent $λ_{0}$ la llongitut d'ona de la llum en el buit.^[5] Esta expressió mostra que, per a una llongitut d'ona fixa, l'absorció aumenta linealmente en $κ$ . La magnitut inversa del coeficient d'absorció es coneix com a profunditat de penetració o profunditat de pell ( $δ = 1 / α$ ) i proporciona una mida de la distància típica necessària per a que l'intensitat es reduïxca en un factor $e$ .

L'índex de refracció complex també determina la reflectancia en l'interfaç entre dos mijos. Considerant el cas senzill d'incidència normal des del buit (índex 1) sobre un mig en índex complex $\tilde{n}$ , el coeficient de reflexió d'amplitut ve dau per l'equació de Fresnel

r = \frac{\tilde{n} - 1}{\tilde{n} + 1} = \frac{(n - 1) + i κ}{(n + 1) + i κ} .

La reflectancia R (fracció de potència reflectida) és el quadrat del mòdul de r:

R = | r |^{2} = \frac{(n - 1)^{2} + κ^{2}}{(n + 1)^{2} + κ^{2}} .

Esta expressió mostra que tant la part real com l'imaginària de l'índex influïxen en la cantitat de llum reflectida. En un dielèctric transparent típic, com el vidre, $κ \approx 0$ i la reflectancia es reduïx a la forma habitual $R \approx (\frac{n - 1}{n + 1})^{2}$ . En canvi, en metalés i en molts semiconductorés la part imaginària és gran, lo que explica que estos materials absorbixquen fortament la llum que els travessa i presenten una reflectancia elevada en una àmplia regió espectral.^[9]^[8]

En sistemes en vàries capes primes (películes antirreflectantes, espills dielèctrics, cavitats resonantes, etc.), l'us de l'índex de refracció complex en cada capa permet calcular per métodos matriciales la reflectancia i transmitancia totals, tenint en conte les interferències múltiples i l'absorció en cada material. En estos casos és freqüent treballar en el coeficient d'absorció i la fase de la llum reflectida, que estan directament relacionats en n i $κ$ .

En la pràctica, els valors de n i $κ$ en funció de la llongitut d'ona (o de l'energia del fotó) es determinen experimentalment per mig de tècniques d'elipsometría espectroscópica i per mig de mides de transmissió i reflexió a distints ànguls d'incidència. L'anàlisis simultàneu d'estes senyes, junt en models per a la permitividad complexa, permet obtindre mapes detallats de les propietats òptiques de materials cristalins, películes primes, cèlules solars o làserés de semiconductor, a on el control de l'índex de refracció complex és essencial per a optimisar l'eficiència i el disseny de les estructures òptiques.^[8]^[10]^[11]

Referències

↑ Física general Escrit per Santiago Burbano de Ercilla, Carlos Gràcia Muñoz en Google llibres
↑ Hecht, Eugene (2002). Optics, Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-18878-6.
↑ Attwood, David (1999). Soft X-rays and extreme ultraviolet radiation: principles and applications, p. 60. ISBN 978-0-521-02997-1.
↑ Kinsler, Lawrence E. (2000). Fundamentals of Acoustics, John Wiley, p. 136. ISBN 978-0-471-84789-2.
↑ ^5,0 ^5,1 Hecht, Eugene (2002). Òptica. Addison Wesley.
↑ ^6,0 ^6,1 Pedrotti, F. L.; Pedrotti, L. S.; Pedrotti, L. M. (2007). Introducció a l'òptica. Pearson.
↑ Jackson, J. D. (1998). Classical Electrodynamics. Wiley.
↑ ^8,0 ^8,1 ^8,2 Fox, M. (2001). Optical Properties of Solids. Oxford University Press.
↑ Born, M.; Wolf, E. (1999). Principles of Optics. Cambridge University Press.
↑ Saleh, B. E. A.; Teich, M. C. (2007). Fonaments de fotònica. Wiley.
↑ Attwood, D. (1999). Soft X-Rays and Extreme Ultraviolet Radiation: Principles and Applications. Cambridge University Press.

Este artícul conté una traducció derivada de «Índice de refracción» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Física general Escrit per Santiago Burbano de Ercilla, Carlos Gràcia Muñoz en Google llibres

[Hecht-2] Hecht, Eugene (2002). Optics, Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-18878-6.

[Attwood-3] Attwood, David (1999). Soft X-rays and extreme ultraviolet radiation: principles and applications, p. 60. ISBN 978-0-521-02997-1.

[Kinsler-4] Kinsler, Lawrence E. (2000). Fundamentals of Acoustics, John Wiley, p. 136. ISBN 978-0-471-84789-2.

[Hecht2002-5] 5,0 ^5,1 Hecht, Eugene (2002). Òptica. Addison Wesley.

[Pedrotti2007-6] 6,0 ^6,1 Pedrotti, F. L.; Pedrotti, L. S.; Pedrotti, L. M. (2007). Introducció a l'òptica. Pearson.

[7] Jackson, J. D. (1998). Classical Electrodynamics. Wiley.

[Fox2001-8] 8,0 ^8,1 ^8,2 Fox, M. (2001). Optical Properties of Solids. Oxford University Press.

[9] Born, M.; Wolf, E. (1999). Principles of Optics. Cambridge University Press.

[10] Saleh, B. E. A.; Teich, M. C. (2007). Fonaments de fotònica. Wiley.

[11] Attwood, D. (1999). Soft X-Rays and Extreme Ultraviolet Radiation: Principles and Applications. Cambridge University Press.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]