Fòrmula atòmica

En llògica formal, una fòrmula atòmica és una fòrmula ben formada que no té una estructura formal més profunda. Açò és, una fòrmula que no conté conectivas llògiques, o equivalentemente, una fòrmula que no té subfórmulas estrictes. D'esta manera, les fòrmules atòmiques són les fòrmules ben formades més simples del llenguage de la llògica. Les fòrmules compostes (o moleculars) són formades combinant les fòrmules atòmiques usant les constants llògiques.

La forma de les fòrmules atòmiques depén del sistema llògic en el qual s'estiga treballant. En la llògica proposicional, per eixemple, les fòrmules atòmiques són les variables proposicionals. En llògica de predicats, són els predicats junt en els seus arguments.

En llògica de primer orde

Artícul principal → Llògica de primer orde.

Per a definir una fòrmula atòmica en la llògica de primer orde, primer és necessari definir la noció de terme. La mateixa es definix recursivamente a través de les següents quatre clàusules:

1. Tots els noms (o constants d'individu) són térmens. Per eixemple, el numeral «2» i el nom «Abel» són térmens.
2. Totes les variables (o variables d'individu) són térmens. Per eixemple, la variable «x» és un terme.
3. Una funció els arguments de la qual siguen térmens és un terme. Per eixemple, «el successor de 2» i «el pare d'Abel» són térmens.
4. Res més és un terme.

Més formalment, açò es pot expressar de la següent manera:

$t\equiv a|x|f^n(t_1,\mathrm{...},t_n)$

A partir de la noció de terme es pot definir recursivamente la noció de fòrmula ben formada del següent modo:

1. Si P és un predicat n-ari i t₁,...,t_n són térmens, llavors P(t₁,...,t_n) és una fòrmula ben formada.
2. Si A és una fòrmula ben formada, llavors ¬A també ho és.
3. Si A i B són fòrmules ben formades, llavors (A ∧ B), (A ∨ B), (A → B), (A ↔ B) també ho són.
4. Si A és una fòrmula ben formada i x una variable, llavors ∀x A i ∃x A també ho són.
5. Res més és una fòrmula ben formada.

Més formalment:

$A,B,\mathrm{...}\equiv P^n(t_1,\mathrm{...},t_n)|\mathrm{\neg }A|A\wedge B|A\vee B|A\to B|A\leftrightarrow B|\mathrm{\forall }xA|\mathrm{\exists }xA$

Donada la definició de fòrmula ben formada, una fòrmula atòmica, o àtom, és simplement una fòrmula ben formada sense constants llògiques, o equivalentemente, una fòrmula ben formada generada solament per mig de la primera clàusula de la definició recursiva.

Per eixemple, considere's la fòrmula complexa:

∀x [R(a,x) ∨ ¬P(f(a))] ∧ ∃i P(i)

Esta fòrmula conté les següents fòrmules atòmiques:

R(a,x)

P(f(a))

P(i)

Vore també

• Llògica matemàtica
• Llògica proposicional
• Llògica de primer orde

Bibliografia

• (2005) Fundamentals of Mathematical Logic, A K Peters. ISBN 1-568-81262-0.