Fòrmules de Machin

En matemàtiques, les fòrmules de Machin són una classe d'identitats que involucren al $\Pi$ = 3.14159... i que generalisen la fòrmula original de John Machin de 1706:

$\frac{\pi }{4}=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239},$

que va usar junt en l'expansió de l'arc tangente de series de Taylor per a calcular π en 100 decimals.

Les fòrmules de Machin tenen la forma

$\frac{\pi }{4}=\sum _n^N{a}_n\arctan \frac{1}{b_n}$

en $a_n$ i $b_n$ s sancer.

El mateix método es coneix encara entre els més eficients per a calcular un gran número de dígits de π usant computació digital.

Derivació

Per a comprendre d'on ve esta fòrmula, començar en les idees bàsiques següents

• $\tan (\arctan (a))=a$
• $\frac{\pi }{4}=\arctan (1)$
• $\tan (2a)=\frac{2\tan (a)}{1-{\tan }^2(a)}$ (identitat de la tangente d'àngul doble)
• $\tan (a-\arctan (b))=\frac{\tan (a)-b}{1+b\tan (a)}$ (identitat diferencia tangente)
• $\frac{\pi }{16}=0.196349\dots$ (aproximadament)
• $\arctan \left(\frac{1}{5}\right)=\arctan (0.2)=0.197395\dots$ (aproximadament)

En atres paraules, per a chicotetes cantitats, l'arc tangente és una bona aproximació a la funció identitat. Açò conduïx a la possibilitat de que un número $q$ puga trobar-se tal que

$\frac{\pi }{16}=\arctan \left(\frac{1}{5}\right)-\frac{1}{4}\arctan (q).$

Usant l'àlgebra elemental, es pot aïllar $q$:

$q=\tan (4\arctan \left(\frac{1}{5}\right)-\frac{\pi }{4})$

Utilisant les identitats prèvies, se substituïx arctan(1) per π/4 i, a continuació, s'obté el resultat

$q=\frac{\tan (4\arctan \left(\frac{1}{5}\right))-1}{1+\tan (4\arctan \left(\frac{1}{5}\right))}$

Aixina mateix, dos aplicacions de l'identitat d'àngul doble conduïxen a

$\tan (4\arctan \left(\frac{1}{5}\right))=\frac{120}{119}$

i aixina

$q=\frac{\frac{120}{119}-1}{1+\frac{120}{119}}=\frac{1}{239}.$

Atres fòrmules poden generar-se utilisant número complejo. Per eixemple l'àngul d'un número complejo a + bi és donat per $\arctan \frac{b}{a}$ i quan es multipliquen número complejo s'afigen els seus ànguls. Si a = b then $\arctan \frac{b}{a}$ és de 45 graus o $\frac{\pi }{4}$. Açò significa que si la part real i complexa són iguals llavors l'arc tangente serà igual a $\frac{\pi }{4}$. Ya que l'arc tangente d'un té una taxa de convergència molt llenta, si trobem dos número complejo que multiplicats de com resultat la mateixa part real i imaginària, tindrem una fòrmula de Machin. Un eixemple és $(2+i)$ i $(3+i)$, si es multipliquen s'aplega a $(5+5i)$. Per lo tant $\arctan \frac{1}{2}+\arctan \frac{1}{3}=\frac{\pi }{4}$.

Si desija utilisar número complejo per a demostrar que $\frac{\pi }{4}=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}$ en primer lloc deu saber que quan es multiplica ànguls, l'número complejo s'eleva a la potència del número que està multiplicant. Aixina que $(5+i{)}^4(-239+i)=-2^2(13^4)(1+i)$ i ya que les parts real i imaginària són iguals, $4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}=\frac{\pi }{4}$

Fòrmules de dos periodos

relations

Hi ha exactament tres fòrmules adicionals de Machin en dos térmens; es tracta de Euler

$\frac{\pi }{4}=\arctan \frac{1}{2}+\arctan \frac{1}{3}$,

Hermann,

$\frac{\pi }{4}=2\arctan \frac{1}{2}-\arctan \frac{1}{7}$,

i de Hutton

$\frac{\pi }{4}=2\arctan \frac{1}{3}+\arctan \frac{1}{7}$.