Factorial exponencial

El factorial exponencial és un sancer positiu n elevat a la potència n-1, el qual a la seua volta està elevada a la potencia n-2, i aixina successivament. Se sol usar com a notació el símbol identificativo del factorial en el lloc de l'exponent $n^{!}$. Es definix:

$a_n=n^{{(n-1)}^{{(n-2)}^{\cdots }}}$

També pot definir-se per mig de la següent relació de recurrencia:

$a_0=1,a_n=n^{a_{n-1}}$

Els primers factorials exponencials són:

$n$	$n^{!}$
0	1
1	1
2	2
3	9
4	262.144
5	6,2... × 10183230

El seu creiximent és major que el dels factorialés i inclús que el dels hiperfactorialés. El factorial exponencial de n=5 té 183.231 dígits.

La suma infinita dels inversos dels factorials exponencials és:

$S=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{a_k}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{9}+\frac{1}{262144}+\cdots =1,6111149258083767361111\dots$

el resultat del qual és un número de Liouville, i per tant irracional.