Flexágono

Hexaflexágono mostrant les seues dos cares principals

Un flexágono és un objecte pla en forma de polígon (quadrat, rectàngul o hexàgon) creat per mig del plegat d'un full de paper (o un atre material lo suficientment flexible i prim), la principal característica del qual residix que, per mig de la seua correcta flexión, permet mostrar més cares que les dos úniques que en un principi posseïx un polígon pla. Açò ha fet que els flexágonos s'hagen convertit des de la seua creació en un divertit pasatiempo, encara que també han segut estudiats en l'àmbit de la geometria. En concret, l'estudi de les seues propietats és portat a terme per la topología, branca de la matemàtica que s'encarrega d'estudiar les propietats de les superfícies.

Descoberts per Arthur Stone en 1939, els flexágonos pertanyen al grup de cossos geomètrics denominats caleidociclos i el seu nom prové de les paraules flexible i hexàgon, ya que el primer d'ells tenia sis costats, encara que posteriorment s'han creat models de quatre costats, quadrats o rectangulars. Ademés, Harold V. McIntosh descriu dos tipos de flexágonos no-plans formats a partir de pentàgons i d'heptàgons, als que crida, respectivament, pentaflexágonos i heptaflexágonos.

En la teoria del hexaflexágono (és dir, en relació en els flexágonos en sis costats), els flexágonos es definixen generalment en térmens de porcions.

Dos flexágonos són equivalents si un pot transformar-se en l'atre per mig d'una série de pessics i rotacions. L'equivalència entre flexágonos és un relació d'equivalència.

Història

Els flexágonos varen ser descoberts en 1939, quan tenia 23 anys d'edat, per Arthur Stone, un estudiant anglés de la carrera de matemàtiques becat en l'Universitat de Princeton (Estats Units). El descobriment va ser accidental: un dia, despuix de retallar uns fulls de paper per a que s'ajustaren a la seua carpeta duta d'Anglaterra, Stone va començar a plegar distraídamente les tires sobrants de diverses formes i va conseguir aixina una interessant figura plana en forma d'hexàgon regular que tenia una curiosa característica, ya que en unir tres dels seus cantons alterns, es podia tornar a obrir, de manera similar a una flor, pero mostrant una nova cara que abans no era visible i ocultant una de les que sí ho eren.

Este primer flexágono, que en la nomenclatura actual es denomina trihexaflexágono, constava tan sol de tres cares, dos visibles i una amagada, pero el mateix Stone va conseguir construir al sendemà un nou tipo de flexágono, esta volta en sis cares, dos visibles i quatre amagades, és dir, un hexahexaflexágono. Plenament convençut de que tenia alguna cosa interessant entre mans, els va mostrar a alguns dels seus companyers i amics i en poc temps, els ya batejats com "flexágonos", es varen convertir en el pasatiempo més popular entre ells, creant en companyia dels seus companyers, i posteriorment afamados científics, el matemàtic Bryant Tuckerman, el físic Richard Feynman i l'estadístic John W. Tukey, el Princeton Flexagon Committee ("Comité de Flexágonos de Princeton"). El primer d'ells desenrollaria un método topològic, denominat "Tuckerman traverse", per a descobrir totes les cares d'un flexágono.

Els flexágonos varen ser donats a conéixer al gran públic des de mediats dels anys 50 gràcies a la llabor del matemàtic i divulgador científic Martin Gardner, en la publicació dels seus artículs de pasatiempos matemàtics en la revista Scientific American. Precisament la primera d'estes columnes seues, publicada en 1956, es dia Flexágonos. Posteriorment publicaria el llibre Hexaflexágonos i atres pasatiempos matemàtics.

Nomenclatura

La paraula flexágono prové dels térmens flexible i hexàgon, ya que els primers models creats per Stone tenien sis costats. Actualment, per a denominar-los s'utilisen dos prefixos seguits de la terminació -flexágono; els tres térmens se separen a voltes per mig d'un guion. El primer prefix indica el número de cares, mentres que el segon depén dels autors: per a uns indica el número de costats del flexágono mentres que per a uns atres indica el número de polígons que forma cada cara. Aixina per eixemple, el tetraoctaflexágono no té huit costats, sino solament quatre, pero és denominat aixina perque està format per huit triànguls. Pero per a tots els autors el flexágono original creat per Stone és un tri-hexa-flexágono (tres cares, sis costats), mentres que el segon model és un hexa-hexa-flexágono (sis cares, sis costats).

Els models de quatre costats, al no tindre forma d'hexàgons, no deurien cridar-se, en sentit estricte, ni "tetraflexágonos" ni "flexágonos quadrats", sino, per eixemple, "caleidociclos quadrats", encara que en la pràctica sí s'ampren eixos térmens.