Fret i calor (teoria de jocs combinatoris)

En la teoria de jocs combinatoris, gelar, calfar i sobrecalentar són operacions en jocs calents per a fer-los més adaptables als métodos tradicionals de la teoria, que va anar originalment ideada per a jocs frets en els que el guanyador és l'últim jugador en tindre un moviment llegal. El sobrecalentamiento es va generalisar per Elwyn Berlekamp per a l'anàlisis de Blockbusting. El refredat (o unheating) i el calfament són variants utilisades en l'anàlisis de la fase final del go.

La refrigeració i el refredat poden considerar-se com un impost sobre el jugador que es mou, fent-ho pagar pel privilegi de fer-ho, mentres que la calefacció, el calfament i el sobrecalentamiento són operacions que invertixen més o menys el refredat i el refredat.

Operacions bàsiques: refrigeració, calefacció

El joc gelat $G_t$ ("$G$ gelat per $t$") per a un joc $G$ i un número (surreal) $t$ està definit per

$G_t=\{\begin{array}{cc}\{G_t^L-t\mid G_t^R+t\}& \text{ para todos los números }t\le \text{ cualquier número }\tau \text{ para el cual }{G}_{\tau }\text{ está infinitesimalmente cerca de algún número }m\text{ , }\\ G_t=m& \text{ para }t>\tau \end{array}$.

La cantitat $t$ per la qual $G$ i gela es coneix com a temperatura; el mínim $\tau$ per la qual $G_{\tau }$ està infinitesimalmente prop de $m$ es coneix com la temperatura $t(G)$ de $G$; $G$ es diu que es congela a

$G_{\tau }$; $m$ és el valor mig (o simplement la mija) de $G$.

La calefacció és l'inversa de la refrigeració i es definix com la "integral"

${\int }^{t}G=\{\begin{array}{cc}G& \text{ if }G\text{ is a number, }\\ \{{\int }^t(G^L)+t\mid {\int }^t(G^R)-t\}& \text{ otherwise. }\end{array}$

Multiplicació i sobrecalentamiento

La multiplication de Norton és una extensió de la multiplicació a un joc $G$ i un joc positiu $U$ (la "unitat") definida per

$G.U=\{\begin{array}{cc}G\times s& \text{ (i.e. the sum of }G\text{ copies of }s\text{) if }G\text{ is a non-negative integer, }\\ -G\times -s& \text{ if }G\text{ is a negative integer, }\\ \{G^L.U+(U+I)\mid G^R.U-(U+I)\}\text{ where }I\text{ ranges over }\Delta (U)& \text{ otherwise. }\end{array}$

Els incentius $\Delta (U)$ d'un joc $U$ es definixen com $\{u-U:u\in U^L\}\cup \{U-u:u\in U^R\}$.

El sobrecalentamiento és una extensió de la calefacció utilisada en la solució del Blockbusting de Berlekamp, a on $G$ recalentado de $s$ a $t$ està definit per a jocs arbitraris $G,s,t$ en $s>0$ com

$\underset{s}{\overset{t}{\int }}G=\{\begin{array}{cc}G.s& \text{ si }G\text{ es un entero, }\\ \{\underset{s}{\overset{t}{\int }}(G^L)+t\mid \underset{s}{\overset{t}{\int }}(G^R)-t\}& \text{ de lo contrario. }\end{array}$

Winning Ways for your Mathematical Plays també definix el sobrecalentamiento d'un joc $G$ per un joc positiu $X$, com

$\underset{0}{\overset{t}{\int }}G=\{\underset{0}{\overset{t}{\int }}(G^L)+X\mid \underset{0}{\overset{t}{\int }}(G^R)-X\}$

Tinga's en conte que en esta definició els números no es tracten de manera diferent als jocs arbitraris, i que el "llímit inferior" 0 ho distinguix de la definició anterior de Berlekamp