Funció Xi de Riemann

Funció xi de Riemann $\xi (s)$ en el pla complex. El color d'un punt $s$ codifica el valor de la funció. Colors forts denoten valors propencs a zero i el to codifica el valor del argumente.

En matemàtica, la la funció Xi de Riemann és una variant de la funció zeta de Riemann, i és definida aixina per la particularitat de tindre una equació funcional simple. La funció es diu aixina en honor a Bernhard Riemann.

Definició

La funció xi (minúscula) de Riemann està definida com:

$\xi (s)=\frac{1}{2}s(s-1){\pi }^{-\frac{s}{2}}\Gamma \left(\frac{s}{2}\right)\zeta (s).$

L'equació funcional (o fòrmula de reflexió) per a la funció xi és

$\xi (1-s)=\xi (s).$

La funció Xi (mayúscula) està definida com

$\Xi (t)={\pi }^{-\frac{\frac{1}{2}+it}{2}}\Gamma \left(\frac{\frac{1}{2}+it}{2}\right)\zeta (\frac{1}{2}+it)$

i també obedix a la mateixa equació funcional.

Valors

La fòrmula general per a sancers parells és

$\xi (2n)=(-1{)}^{n+1}\frac{B_{2n}{2}^{2n-1}{\pi }^n(2n^2-n)(n-1)!}{(2n)!}.$

Per eixemple:

$\xi (2)=\frac{\pi }{6}.$

Referències

• Xi-Function en MathWorld.
• Plantilla:Planetmath