Funció circular

En topología i en particular en el càlcul i aritmètica com significat servix per referir tal, una funció circular matemàtica de dos sentits en una varietat diferenciable $M$, és una funció escalar $M\to ℝ$ els punts crítics de la qual són un enllaç, és dir, una unió disjunta de components conexos, cada u sent homeomorfos al círcul $S^1$.

Per eixemple, siga $M$ el bou. Siga $K=]0,2\pi [\times ]0,2\pi [$ llavors el mapage $X:K\to {ℝ}^3$ dau per

$X(\theta ,\varphi )=((2+\cos \theta )\cos \varphi ,(2+\cos \theta )\sin \varphi ,\sin \theta )$

és una parametrización per a casi tot el bou. Per mig de la proyecció ${\pi }_3:{ℝ}^3\to ℝ$ obtenim $G={\pi }_3{|}_M:M\to ℝ$ que els seus punts crítics estan determinats per

$\mathrm{\nabla }G(\theta ,\varphi )=(\frac{\partial G}{\partial \theta },\frac{\partial G}{\partial \varphi })(\theta ,\varphi )=(0,0)$

si i solament si $\theta =\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}$

Archiu:Critical-loop. caps block 0

El círcul negre és un d'estos conjunts crítics.

Estos dos valors per a $\theta$ donen els conjunts crítics

$X(\pi /2,\varphi )=(2\cos \varphi ,2\sin \varphi ,1)$

$X(3\pi /2,\varphi )=(2\cos \varphi ,2\sin \varphi ,-1)$

que representen dos círculs extrems per al bou.

Observe que el Hessiano per a esta funció és

$\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}(G)=\left[\begin{array}{cc}-\sin \theta & 0\\ 0& 0\end{array}\right]$

el qual es revela a sí mateixa de $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}(G)=1$

en els círculs de dalt, determinant que els punts crítics siguen degenerados, açò és, mostrant que els punts crítics no estan aïllats.

Referències

• Siersma and Khimshiasvili, On minimal round functions, [1] Preprint 1118, Department of Mathematics, Utrecht University, 1999, pp. 18.