Funció simètrica monomial

Les funcions simètriques monomiales són una classe especial de funcions simètriques que formen la base més simple de l'espai vectorial de funcions simètriques.

Definició

Si $\lambda =({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n)$ és una partició, es construïx el monomi

$x^{\lambda }=x_1^{{\lambda }_1}{x}_2^{{\lambda }_2}\cdots x_n^{{\lambda }_n}$.

La suma de tals monomis sobre totes les permutació distintes de $\lambda$, dona com resultat un polinomi simètric denotat $m_{\lambda }$.

Eixemples

Les funcions simètriques monomiales en quatre variables per a les particions més chicotetes són:

• $m_{\mathrm{\varnothing }}=1$.
• $m_1=x_1+x_2+x_3+x_4$.
• $m_2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2$.
• $m_{11}=x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_1{x}_4+x_2{x}_3+x_2{x}_4+x_3{x}_4$.
• $m_3=x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3$.
• $m_{21}=x_1^2{x}_2+x_2^2{x}_1^1+x_1^2{x}_3+x_3^2{x}_1+x_1^2{x}_4+x_4^2{x}_1+x_2^2{x}_3+x_3^2{x}_2+x_2^2{x}_4+x_4^2{x}_2+x_3^2{x}_4+x_4^2{x}_3$.

Observe's que en $m_{11}$ només apareix $x_1{x}_3$ i no $x_3{x}_1$, perque abdós corresponen a la mateixa permutació $(1010)$ de la partició $(1100)$. En particular, es consideren totes les particions d'un sancer $n$ com si tingueren $n$ parts, afegint entrades zero de ser necessari.

Propietats

Qualsevol funció simètrica en n variables

$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\sum _{\sigma }{x}^{\sigma }$

pot reescriure's en térmens de funcions simètriques monomiales com a

$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\sum _{\lambda }{m}_{\lambda }$,

per lo que el conjunt de funcions simètriques monomiales indizadas per les particions de n

$\{m_{\lambda }:\lambda ⊢n\}$

forma una base del espai vectorial ${\Lambda }_n$ de funcions simètriques en n variables.

Una conseqüència de la relació anterior és la següent teorema.

La dimensió de l'espai vectorial ${\Lambda }_n$ sobre $\mathbb{Q}$ de funcions simètriques en n variables és igual al número $p(n)$ de particions del sancer n, i el conjunt de funcions simètriques monomiales és una base de dit espai vectorial.