Funció tau de Ramanujan

Archiu:Absolute Tau function for x up to 16,000 with logarithmic scale.JPG

Valors de $|\tau (n)|$ per a n <16.000, representats en escala logarítmica. La llínea blava selecciona solament els valors de n que són múltiples de 121

La funció tau de Ramanujan, estudiada per Srinivasa Ramanujan (1916), és la funció $\tau :\mathbb{N}\to \mathbb{Z}$ definida per la següent identitat:

$\sum _{n\ge 1}\tau (n)q^n=q\prod _{n\ge 1}(1-q^n{)}^{24}=\eta (z{)}^{24}=\Delta (z),$

a on $q=\exp (2\pi iz)$ en $\mathrm{\Im }z>0$ i $\eta$ és la funció eta de Dedekind; i la funció $\Delta (z)$ és una forma de cim holomórfica de pes 12 i nivell 1, coneguda com la forma modular discriminante. Apareix en relació en un "terme d'error" involucrat en contar el número de formes d'expressar un número entero com una suma de 24 quadrats. Una fòrmula deguda a Ian G. Macdonald va ser donada en Dyson (1972).

Valors

Els primers valors de la funció tau es donen en la següent taula Plantilla:OEIS:

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
$\tau (n)$	1	−24	252	−1472	4830	−6048	−16744	84480	−113643	−115920	534612	−370944	−577738	401856	1217160	987136

Conjectura de Ramanujan

Ramanujan (1916) va observar, pero no va demostrar, les següents tres propietats de $\tau (n)$:

• $\tau (mn)=\tau (m)\tau (n)$ si $\text{mcd (m,n)}=1$ (significa que $\tau (n)$ és una funció multiplicativa)
• $\tau (p^{r+1})=\tau (p)\tau (p^r)-p^{11}\tau (p^{r-1})$ per a p primer i r > 0
• $|\tau (p)|\le 2p^{11/2}$ per a tots els número primo p

Les dos primeres propietats varen ser provades per Mordell (1917) i la tercera, cridada conjectura de Ramanujan, va ser provada per Deligne en 1974 com a conseqüència de la seua prova de les conjectura de Weil (específicament, la va deduir aplicant-les a una varietat de Kuga-Sato).